延边州2015年理科数学数学（理）试题头说明本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第II卷4至6页，共150分。其中第II卷第22—24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．第Ⅰ卷 (选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。1．已知集合, 集合, 则A B． C． D．2．设z = 1 ? i（i是虚数单位），则复数＋i2的虚部是A． B．－1 C． D．－3. “”是“”的A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分不必要条件4表示不同直线，M表示平面，给出四个命题：①若∥M，∥M，则∥ 或相交或异面；②若M，∥，则∥M；③⊥，⊥，则∥；④ ⊥M，⊥M，则∥。其中正确命题为A．①② B．②③ C．③④ D．①④5. 读右侧程序框图，该程序运行后输出的A值为A B． C． D．6．一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以平面为投影面的正视图的面积为A． B． C． D．7已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且其渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为A． B． C． D．8. 设函数，则下列结论正确的是 A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称C. 把的图像向左平移个单位，得到一个偶函数的图像 D. 的最小正周期为，且在上为增函数9在的展开中，的幂指数是整数的项共有A．6项 B．5项 C．4项 D．3项 10. 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′,若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为A． B．C． D．11已知函数是定义在上的偶函数，为奇函数，，当时，，则在内满足方程的实数为A． B． C． D． 12若关于x的方程有五个互不相等的实根，则的取值范围是 A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上。13. 设变量x, y满足约束条件，则目标函数的最小值为 14．已知直角中,为斜边的中点，则向量在上的投影为 15．已知中，角所对的边长分别为，且角成等差数列， 的面积，则实数的值为 。16给出下列命题：① 已知线性回归方程，当变量增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；② 在进制计算中， ；③ 若，且，则；④ “”是函数的最小正周期为4的充要条件； ⑤ 设函数的最大值为，最小值为m，M＋m=4027其中正确的个数是 个。17．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，.（）求数列的通项公式；（）设n＋1求数列的前项和18．(本小题满分12分)如图1，在中，∥BC，，，2。（）：平面；（），19．(本小题满分12分)为迎接2015年“两会”（全国人大3月5日-3月18日、全国政协3月3日-3月14日）的胜利召开，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金元，正确回答问题B可获奖金元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止．假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．20．(本小题满分12分)已知椭圆C: 的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切I）求椭圆C的方程；II）若过点(2，0)的直线与椭圆交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当 时，求实数取值范围21. (本小题满分12分)已知函数I）若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围;II）若函数的图像在x=1处的切线斜率为0，且 ，（，） 证明：对任意的正整数n, 当时，有.22.（本小题满分10分） 《选修4—1：几何证明选讲》如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5。 求：（I）⊙O的半径；（II）sin∠BAP的值23．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C的参数方程为（为参数），点Q的极坐标为。I）化圆C的参数方程为极坐标方程；II）直线过点Q且与圆C交于MN两点，求当弦MN的长度为最小时，直线 的直角坐标方程。24．（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》已知函数，。I）求不等式的解集；II）若不等式有解，求实数的取值范围。—12：DABDC ACCBB CD 填空题13. —9； 14. ； 15. ； 16. 4三．解答题：解答题的解法不唯一，请阅卷教师参考评分标准酌情给分！17.解：(Ⅰ) 当时，， ………………… 1分当时， ………………… 3分即：，数列为以2为公比的等比数列 ………………5分 ………………………6分（Ⅱ） ………………………7分 …………………… 9分两式相减，得 …………………… 11分 …………………………… 12分18．DE ，DE//BC， BC …………2分又，AD …………4分（Ⅱ）以D为原点，分别以为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz …………5分说明：建系方法不唯一 ，不管左手系、右手系只要合理即可 在直角梯形CDEB中，过E作EFBC，EF=2，BF=1，BC=3…………6分B（3，0，-2）E（2，0，0）C（0，0，-2）A1（0，4，0） …………8分 …………9分设平面A1BC的法向量为 令y=1,…10分 设BE与平面A1BC所成角为， …………12分19.解：(Ⅰ)该参与者随机猜对问题A的概率随机猜对问题B的概率． ……………………1分回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：①先回答问题A，再回答问题B，参与者获奖金额的可能取值为，2分则，， ． ……………………………3分数学期望． ……………5分②先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额的可能取值为，…6分则，，． ……………………………9分数学期望． ……………10分．于是，当时，，即先回答问题A，再回答问题B，参与者获奖金额的期望值较大；当时，，无论是先回答问题A，再回答问题B，还是先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额的期望值相等；当时，，即先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额的期望值较大． ……………………………………12分20. 解：(Ⅰ) 由题意知，短半轴长为：， …………1分∵，∴，即，∴， ……… …………………2分故椭圆的方程为：. ………………3分（Ⅱ）由题意知，直线的斜率存在，设直线：，……4分设，，，由得，.…………5分，解得. …………6分.∵，∴，解得，. ………………7分∵点在椭圆上，∴，∴. ………………………8分∵，∴，∴，∴，∴，∴ …………………10分∴，∵，∴，∴或，∴实数取值范围为. ………………12分21. 解：(Ⅰ) 函数的定义域是　　　　　　　　　因为所以有所以　………………１分　　　　　 ………………２分1.当时，恒成立，所以函数在上单调递减; …３分2．当时，若函数在其定义域内单调递增，则有恒成立即因为所以 且时不恒为0. ………………４分若函数在其定义域内单调递减，则有恒成立即因为所以 综上，函数在定义域内单调时的取值范围是　………５分（Ⅱ）因为函数的图像在x=1处的切线斜率为0，所以即所以所以　　　　　 ………………………………６分令　说明：此处可有多种构造函数的方法，通所以……７分　常均需要讨论ｎ是奇数还是偶数当是偶数时，因为所以　　可参照答案所示　每种情况酌情赋２－３分所以所以即函数在单调递减所以，即　　　　 ………………………９分当是奇数时，令则所以函数在单调递减，所以……１０分又因为时所以所以即函数在单调递减 ………………１１分所以，即综上，对任意的正整数n,当时，有.………………１２分22. （Ⅰ）因为PA为⊙O的切线，所以,又由PA=10，PB=5，所以PC=20，BC=20-5=15 ………2分.因为BC为⊙O的直径，所以⊙O的半径为7.5. ………4分（Ⅱ）∵PA为⊙O的切线，∴∠ACB=∠PAB, ………………5分又由∠P=∠P, ∴△PAB∽△PCA,∴ ………7分设AB=k，AC=2k, ∵BC为⊙O的直径，∴AB⊥AC∴ ………………8分∴sin∠BAP=sin∠ACB= ………………10分23. 解：(Ⅰ)圆C的直角坐标方程为，…2分 又 ……………4分 ∴圆C的极坐标方程为 ……………… 5分（Ⅱ）因为点Q的极坐标为，所以点Q的直角坐标为（2，-2）……7分 则点Q在圆C内，所以当直线⊥CQ时，MN的长度最小 又圆心C（1，-1），∴， 直线的斜率 吉林省延边州2015届高三下学期质量检测数学（理）试题Word版含答案
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