山西大学附中
2014-2013学年高三(4月)月考数学（文科）试卷
(考试时间：120分钟)
一、：（每小题5分，共60分）
1．集合A= ，集合B= ，则 ( )
A. B. C. D.
2．设 则 的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
3.已知
A. B. C. D.
4．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是
A. B． C． D．
5. 如下程序框图的功能是：给出以下十个数：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知复数 在复平面上对应点为 ，则 关于直线 的对称点的复数表示是（ ）．
A. B. C. D.
7.抛物线 上的点到直线 距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 是定义在 上的单调增函数且为奇函数，数列 是等差数列， ，则 的值（ ）．
A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负
9.在平面直角坐标系中，不等式 （ 为常数）表示的平面区域的面积为8，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
10.若三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形， ， ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11．如图， ， 是双曲线 ： (a＞0，b＞0)的左、右焦点，过 的直线 与 的左、右两支分别交于 ， 两点．若 : : ＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C．2 D．
12．已知以 为周期的函数 ，其中 。若方程 恰有5个实数解，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D.
二、题：（每小题5分，共20分）
13.公比为4的等比数列 中,若 是数列 的前 项积,则有 , , 也成等比数列,且公比为 ；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列 中，若 是 的前 项和，则有一相应的等差数列，该等差数列的公差为____________.
14.已知函数 ，其导函数记为 ，则 .
15．设二次函数 的值域为 ，则 的最小值为
16．给出下列四个命题：
①
② ，使得 成立；
③ 为长方形， ， ， 为 的中点，在长方形 内随机取一 点，取得的点到 距离大小1的概率为 ；
④在 中，若 ，则 是锐角三角形，
其中正确命题的序号是
三、解答题：
17．（本题满分12分）在 中 分别为 , , 所对的边， 且 （1）判断 的形状；
（2）若 ，求 的取值范围
18. (本小题满分12分)
某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品 ，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）. （1）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差， 并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．
19．（本小题满分12分）如图，已知矩形 的边 , ,点 、 分别是边 、 的中点，沿 、 分别把三角形 和三角形 折起，使得点 和点 重合，记重合后的位置为点 。（1）求证：平面 平面 ；（2）设 、 分别为棱 、 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦；
20．（本小题满分12分）
已知点 是椭圆E： （ ）上一点， 、 分别是椭圆 的左、右焦点， 是坐标原点， 轴．
（1）求椭圆 的方程；（2）设 、 是椭圆 上两个动点， ．求证：直线 的斜率为定值；
21．（本小题满分12分）
已知函数 , ,设 ．
（1）求函数 的单调区间；（2）若以函数 图像上任意一点 为切点的切线的斜率 恒成立，求实数 的最小值；（3）是否存在实数 ,使得函数 的图像与函数 的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，说明理由。
请考生在第22、23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）
已知点 ，参数 ，点 在曲线C： 上.
（1）求在直角坐标系中点 的轨迹方程和曲线 的方程;（2）求 的最小值.
23．（本小题满分10分）已知函数
（1）若 .求证： ；
（2）若满足 试求实数 的取值范围
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2014-2013学年高三(4月)月考数学（文科）答案
1~6DADDCD 7~12AACABB
13. 300 14. 2 15. 16.①②④.
17.试题分析：解：（1）由题意
由正弦定理知， 在 中，
或
当 时， 则 舍
当 时， 即 为等腰三角形。
（2）在等腰三角形 ，
取AC中点D，由 ，得
又由，
所以，
18. 18.（1）甲相对稳定。
，
（2）从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法：（108，109），
（108，110），（108，112），（108，115），（108，124），（109，110），
（109，112），（109，115），（109，124），（110，112），（110，115），
（110，124），（112，115），（112，124），（115，124）．
设A表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，
则A的基本事件有4种：（108，109），（108，110），（109，110），（110，112）．
故所求概率为P(A)= ．
19. (1)证明:
(2)如图,建立坐标系,则
,
易知 是平面PAE的法向量, 设MN与平面PAE 所成的角为
20.解：（Ⅰ）∵PF1⊥x轴，
∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），
PF2= ，2a=PF1+PF2=4，a=2，b2=3，
椭圆E的方程为： ；
（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由 得
（x1+1，y1- ）+（x2+1，y2- ）= （1,- ），
所以x1+x2= -2 ，y1+y2= （2- ） ………①
又 ， ，
两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+ 4（y1+y2）（y1-y2）=0………．．②
以①式代入可得AB的斜率k= 为定值；
试题分析：解：（I） ，
∵ ，由 ，∴ 在 上单调递增。
由 ，∴ 在 上单调递减。
∴ 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。
（II） ，
恒成立
当 时， 取得最大值 。∴ ，∴
（III）若 的图象与 的图象恰有四个不同得交点，即 有四个不同的根，亦即 有四个不同的根。
令 ，
则
当x变化时， 、 的变化情况如下表：
x
的符号
＋－＋－
的单调性
由表格知： ，
画出草图和验证 可知，当 时， 与 恰有四个不同的交点。
∴当 时， 的图象与 的图象恰有四个不同的交点。
22.【解析】
试题分析：设点P的坐标为（x，y），则有 消去参数α，可得 由于α∈[0，π]，∴y≥0，故点P的轨迹是上半圆 ∵曲线C： ，即 ，即 ρsinθ-ρcosθ=10，故曲线C的直角坐标方程：x-y+10=0．（2）如图所示：由题意可得点Q在直线x-y+10=0 上，点P在半圆上，半圆的圆心C（1，0）到直线x-y+10=0的距离等于 ．即PQ的最小值为 -1．
23.解：（Ⅰ）
..2分
...5分
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知， 在 为单调增函数.
且 ..7分
当 时， ；
当 时， ；
当 时， 综上所述： ...10分
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