数学（文）试题（2013.05.24）
科试题
参考公式：
锥体体积公式 ，其中 为底面面积， 为高
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知函数 定义域为 ， 定义域为 ，则 （****）
A． B． C． D．
2. 若 ，则下列不等式成立的是（****）
A. B. C. D.
3．若函数 是函数 的反函数，则 的值是（****）
A． B． C． D．
4.设a,β分别为两个不同的平面，直线l a，则“l?β”是“a?β成立的（****）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.要得到函数 的图象,只要将函数 的图象（****）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
6．已知变量x，y满足约束条件 则z=x+y的最大值为（****）
A.3 B.4 C.5 D.6
7．已知函数 ，则 是（****）
A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．奇函数，且在 上单调递增
C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．偶函数，且在 上单调递减
8. 在右侧程序框图中，输入 ，按程序运行后输出的结果是（****）
A．3 B．4 C．5 D.6
9.若双曲线 与直线 无交点，则离心率 的取值范围（****）
A． B． C． D．
10.若 为 内一点，且 ，在 内随机撒一颗豆子，则此豆子落在 内的概率为（****）
A． B． C． D．
11.如图，矩形 的一边 在 轴上，另外两个顶点 在函数
的图象上.若点 的坐标为
，记矩形 的周长
为 ，则 （****）
A.208 B. 216 C. 212 D.220
12．已知 表示大于 的最小整数，例如 ．下列命题
①函数 的值域是 ；②若 是等差数列，则 也是等差数列；
③若 是等比数列，则 也是等比数列；④若 ，则方程 有3个根．
正确的是（****）A．②④ B．③④ C．①③ D．①④
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置．
13．已知复数 在复平面内的对应点分别为点A、B，则线段AB的中点所对应的复数是****
14．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是****
15.已知平面上的线段及点 ，在上任取一点 ，线段 长度的最小值称为点 到线段的距离，记作 ．设是长为2的线段，点集 所表示图形的面积为****
16.设 为正整数，若 和 除以 的余数相同，则称 和 对 同余.记 ，已知 ， ，则 的值可以是**** （写出以下所有满足条件的序号）①1007；②2013；③3003；④6002
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把解答过程填写在答题卡的相应位置．
17．（本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数 的最小正周期和值域；
（2）已知 的内角 所对的边分别为 ，若 ，且 求 的面积.
18. （本小题满分12分）
已知点（1,2）是函数 的图象上一点，数列 的前n项和 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）将数列 前30项中的第3项，第6项，…，第3k项删去，求数列 前30项中剩余项的和.
19．（本小题满分12分）
市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班，
（1）写出李生可能走的所有路线；（比如DDA表示走D路从甲到丙，再走D路回到甲，然后走A路到达乙）;
（2）假设从丙地到甲地时若选择走道路D会遇到拥堵，并且从甲地到乙地时若选择走道路B也会遇到拥堵，其它方向均通畅，但李生不知道相关信息，那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少？
20．（本小题满分14分）
如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上除 、 外的一个动点， 平面 , ， ， ， ．
⑴证明：平面 平面 ；
⑵试探究当 在什么位置时三棱锥 的
体积取得最大值，请说明理由并求出这个最大值．
21．（本小题满分12分）
如图，已知抛物线 的焦点在抛物线 上．
（1）求抛物线 的方程及其准线方程；
（2）过抛物线 上的动点 作抛物线 的两条切线 、 ， 切点为 、 ．若 、 的斜率乘积为 ，且 ，求 的取值范围．
22.（本小题满分14分）
已知函数 ，
（1）当 且 时，证明：对 ， ；
（2）若 ，且 存在单调递减区间，求 的取值范围；
（3）数列 ，若存在常数 ， ，都有 ，则称数列 有上界。已知 ，试判断数列 是否有上界．
数学文科试题参考答案
1-5 BCCAC 6-10 DACBA 11-12 BD
13．3－i 14． 16 15. 16.①④
17．解：（1）
所以函数 的最小正周期 ，值域为
（备注：当 时，求函数 的单调区间和值域？ ， ，令 ，则
函数 的单调递增区间为 ，单调减区间为
， ，
函数 的值域为 ）
, , , , ,
,由正弦定理得 ,
18．解：（Ⅰ）把点（1,2）代入函数 ，得 . 当 时， 当 时， 经验证可知 时，也适合上式， .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列 为等比数列，公比为2，故其第3项，第6项，…，第30项也为等比数列，首项 公比 为其第10项
∴此数列的和为 又数列 的前30项和为 ∴所求剩余项的和为
19．⑴李生可能走的所有路线分别是：DDA，DDB，DDC，DEA，DEB，DEC，EEA，EEB， EEC，EDA，EDB，EDC共12种情况。⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有：DEA，DEC，EEA，EEC共4种情况,所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率 .
20．证明与求解：⑴因为 是直径，所以 ，因为 平面 ， ，因为 ，所以 平面
因为 ，又因为 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，所以 平面，因为 平面 ，所以平面 平面
⑵依题意， ，
由⑴知 ，
， ，等号当且仅当 时成立，所以当 为半圆弧中点时三棱锥 的
体积取得最大值，最大值为
（备注：此时， ， ，设三棱锥 的高为 ，则 ， ）．
21．解：（1） 的焦点为 ，
所以 ， ．
故 的方程为 ，其准线方程为 ．
（2）任取点 ，设过点P的 的切线方程为 ．
由 ，得 ．
由 ，化简得 ，
记 斜率分别为 ，则 ，
因为 ，所以
所以 ，
所以 ．
22．解：⑴当 且 时，设 ， ， ……1分，解 得 。
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，所以 在 处取最大值，即 ， ， 即
（2）若 ， =
所以
因为函数 存在单调递减区间，所以 在 上有解
所以 在 上有解
所以 在 上有解，即 使得
令 ，则 ，研究 ，当 时，
所以
（3）数列 无上界
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