绝密★启用前 揭阳市201年高中毕业班第次高考模拟考试4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数，则A．1 B．2 C． D．5．的定义域为，函数的定义域为，则A. B. C. D.3．、，直线、，，则“” 是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．下列函数是偶函数，且在上单调递增的是A. B. C. D. 5．一简单组合体的三视图如图（1）所示，则该组合体的体积为 A. B. C. D.6．如图所示的程序框图，使输入的x值与输出的y值相等的x值个A.1 B.2 C.3 D.4 7．是函数图象上的任意一点，点 ()，则的最小值为A. B. C. D.. 8．定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为，用表示有限集A的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A，都有；②存在集合A，使得；③表示空集，若则；④若则；⑤若则其中正确的命题个数A． B． C． D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9－13题）9．若点在函数的图象上，则tan的值为 ． 10．． ．中，．则当取最大值时，数列的公差 ．13．从中任取一个数x，从中任取一个数y，则使的概率为 ．14.(坐标系与参数方程选做题)[来已知直线为参数且）与(是参数且)，则直线与的交点坐标为 . 15.（几何证明选讲选做）如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，则BC的长为 ．6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．已知函数（1）的；（2）若求的值．图是某市月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择月1日至月1日中的某一天到达该市，并停留天．（）求此人到达当日空气重度污染的概率;（）设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望．．如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，AEH交SC于K点，AB=1，SA=2．（1）的最小值；（2）求证：E、H在以AK为直径的圆上；（）求面AEKH所成角的弦值．．已知正项数列满足:，数列前项和为，，．求数列和的通项公式；（2），数列的前项和为，求证：．20．如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，BC＝2AC． (1)求椭圆方程；(2) 在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．21．（本小题满分14分）已知函数（1）当且时，证明：；（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明：．揭阳市201年高中毕业班高考第次模拟考数学6．由框图知，x与y的函数关系为，由得若，则或，若，则，若，显然，故满足题意的x值有0,1,3，故选C.7．如图示，点P在半圆C上，点Q在直线上，过圆心C作直线的垂线，垂足为A，则,故选C.8．由的定义可知①、④正确，若则则所以②错误，⑤正确，故选B。二、填空题：9．；10．15、0.0175；11．；12．-3；13．；14．（1，3） .解析：10.由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有（辆），x的值=.11.由得，．的公差为，由得，则，因故，当且仅当，即“=”成立，这时取得最大值，由得，所以。13.如右图，使是图中阴影部分，故所求的概率14．把直线，把曲线的参数方程化为普通方程得，由方程组解得交点坐标为（1，3）【或将曲线的参数方程化为普通方程得后将代入解得，进而得点坐标为（1，3）】15．DE为OB的中垂线且OD=OB，为等边三角形，，三.解答题：16．解得，所以函数的定义域为------------------------2分---4分的最小正周期-----------------------------------6分（2）---------------------8分且，------------------------------------10分∴------------------------------------12分得，代入得，-----8分 ∴，又，---------------------------------10分∴------------------------------------12分17.解：设表示事件“此人于月日到达该市”（ =1,2，…，1）.题意,,且.（）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则,所以.此人到达当日空气重度污染的概率.--------------------------------------5分(2)由题意可知，的所有可能取值为0,1,2且P(=0)=P(A4∪A8∪A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)=,-------------------7分P(=2)=P(A2∪A11)= P(A2)+P(A11) =,-------------------------------8分P(=3)=P(A1∪A12)= P(A1)+P(A12) =,-------------------------------9分P(=1)=1－P(=)－P(=2)－P(=)=,--------------10分(或P(=1)=P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)=)所以的分布列为：123P-----------------------------------------------------------------11分故的期望．．（）取最小值，这时，的最小值即线段BH的长，--------------------------------------------1分,则，在中，∵,∴,--------------------2分∴.------------------------------------------------------------4分（）证明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，又平面SAB，∴EA⊥BC，-------------------------------分∵AE⊥SB，∴⊥平面 ，分平面S，∴EA⊥EK， ----------------分同理 A⊥KH，∴E、H在以AK为直径的圆上--------------分方法一：如图，以A为原点分别以AB、AD、AS为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，--------分则S（0，0，2），C（1，1，0），AE⊥SC，⊥SC，∴C⊥平面，为平面AEKH的一个法向量，-------------------分为平面ABCDF的一个法向量，-----------分设面AEKH所成角为，则----------------分∴面AEKH所成角的弦值---分【方法二： 可知,故,又∵面AEKH，面AEKH, ∴面AEKH. ------------------------10分平面ABCD=l，∵面AEKH，∴-------------------------------------------------------------11分∵BD⊥AC，∴⊥⊥SA，∴B⊥平面SA，又平面SA，∴BD⊥AK， ∴⊥，∴为平面AEKH所成角分∴平面AEKH所成角的弦值．---分19．解：（1）由,得. ---------分由于是正项数列,所以.---------------------------------分可得当时，，两式相减得，------------5分∴数列是首项为1，公比的等比数列，----------------------------------7分∵---------------------------------8分∴--------------------------------------------------------------11分---------------------------------------------------------------------------------------14分∵-----------------11分----------------------------------------------14分20.解：(1)，则A(2，0)，设椭圆方程为-----------------------分　由对称性知OC＝OB 又∵，BC＝2AC∴AC⊥BC，OC＝AC ∴△AOC为等腰直角三角形∴点C的坐标为(1，1)点B的坐标为(－1，－1) ---------------------4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得 ∴所求椭圆方程为---------------------------------分在椭圆E上存点Q，使得，则即点Q在直线上，-----------------------------------------------------------7分∴点Q即直线与椭圆E的交点，∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，∴满足条件的点Q存在，且有两个．------------------------------------------------------9分在椭圆E上存点Q，使得，则即，--------①-------------------------------------------------7分Q在椭圆E上，∴，-----------------②由①式得代入②式并整理得：，-----③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个．---------------9分，由M、N是的切点知，,∴O、M、P、N四点在同一圆上，------------------------------------------10分OP,则圆心为，其方程为，------------------------------11分-----④即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，∴M、N坐标也满足方程---------------⑤⑤-④得直线MN的方程为分得，令得，----------------------------------13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值.-----------------------------------14分则----------10分化简得--------------④同理可得直线PN的方程为---------------⑤-------------------11分⑤得∴直线MN的方程为分得，令得，--------------------------------------------13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值．---------------------------------------------14分，即证，--------------------1分令则------------3分∴在单调递增，，，即成立．----------------------4分（2）解法一：由且可得---------------------------------------5分令--------------------------------------------广东省揭阳市2015届高三3月第一次模拟数学理试题（纯WORD版）
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