山东省青岛市高三统一质量检测0分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数（是虚数单位虚部为A． B． C． D．已知全集，集合，，则A． B． C． D．某中学高中一年级有人，高中二年级有人，高中三年级有人，现从中抽取一个容量为人的样本，则高中二年级被抽取的人数为A． B． C． D．【解析】试题分析：由已知，样本容量为，所以，高中二年级被抽取的人数为.考点：分层抽样4.曲线在处的切线方程为( )A． B． C． D．5.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A．若则B．若则C．若则D．若则6.设其中实数满足，若的最大值为，则的最小值为( )A． B．C．D．【答案】【解析】试题分析：画出可行域及直线，如图所示. 平移直线，当其经过点时，当直线经过点时，所以，，.考点：简单线性规划7.函数的部分图象如图所示，若，且，则( ) A． 　 　 B． C． 　　 D．考点：正弦型函数8.在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步，程序和在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有A．种 B．种 C． D．种9.函数的图象大致是10.如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于( )A． B． C．D．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知向量，，若，则实数______;12.圆的圆心到直线的距离 ;【答案】【解析】试题分析：由已知圆心为，由点到直线的距离公式得，考点：圆的方程，点到直线的距离公式. 13.如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数，则输出的大于的概率为 14.已知均为正实数，且，则的最小值为__________；【答案】【解析】试题分析：因为均为正实数，所以可化为，即所以故当且仅当时，取得最小值.考点：基本不等式的应用，一元二次不等式解法.15.如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”.给出下列函数①;②;③;④.以上函数是“函数”的所有序号为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分），，.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）在中,分别是角的对边,,,若，求的大小.【答案】（Ⅰ）递减区间是. （Ⅱ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用平面向量的坐标运算及三角函数公式，将化简为，确定得到递减区间. 17.（本小题满分12分）袋中装有大小相同的黑球和白球共个，从中任取个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用表示取球终止时取球的总次数．（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求随机变量的概率分布及数学期望．（Ⅱ）由题意，的可能取值为.由古典概型概率的计算公式，计算可得分布列为：进一步应用期望的计算公式，即得所求.试题解析：(Ⅰ)设袋中原有个白球，则从个球中任取个球都是白球的概率为…2分由题意知，化简得．解得或（舍去）……………………5分故袋中原有白球的个数为……………………6分 （Ⅱ）由题意，的可能取值为.；；；. 所以取球次数的概率分布列为：……………10分所求数学期望为…………………12分考点：简单组合应用问题，古典概型概率的计算，随机变量的分布列及数学期望.18.（本题满分12分）中, ，、分别为、的中点，，. （Ⅰ）证明：∥面；（Ⅱ）求面与面所成锐角的余弦值.【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）(Ⅰ) 利用三角形中位线定理，得出∥ .（Ⅱ）利用平几何知识，可得一些线段的长度及，进一步以为轴建立坐标系，得到， 确定面与面的法向量、：由，可得令；由又，可得令，进一步得到. 所以则………8分设、分别是面与面的法向量则，令又，令……………11分所以……………12分考点：直线与平面、平面与平面垂直，二面角的定义，空间向量的应用.19.（本小题满分12分）在数列中，其前项和为，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）设（为正整数）,求数列的前项和.【答案】(Ⅰ) .（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)根据,计算 验证当时，,明确数列是为首项、公差为的等差数列即得所求.（Ⅱ）由(Ⅰ)知: 利用“裂项相消法”、“错位相减法”求和. 试题解析：(Ⅰ)由题设得:,所以所以 ……………2分当时，,数列是为首项、公差为的等差数列故.……………5分20.（本小题满分13分）已知函数Ⅰ）求的最值Ⅱ）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间设，试问函数在上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由Ⅰ）在处取得最小值．（Ⅱ）函数在上不存在保值区间,证明Ⅰ）求导数，解得函数的减区间；，函数．在处取得最小值． 21.（本小题满分1分）的取值范围；（Ⅲ）作直线与椭圆交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或； （Ⅲ）满足条件的实数的值为或. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设,的坐标分别为,其中由题意得的方程为:根据到直线的距离为,可求得， 将与联立即可得到.（Ⅱ）设,，由可得，代人椭圆的方程得，即可解得或. （Ⅱ）由(Ⅰ)知椭圆的方程为 设,，由于,所以有 ……………7分又是椭圆上的一点,则所以解得：或 ……………9分（Ⅲ）由, 设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为把它代入椭圆的方程,消去,整理得: 由韦达定理得,则,所以线段的中点坐标为【2015青岛市一模第2套】山东省青岛市2015届高三3月统一质量检测 数学（理）
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