201３年重庆一中高2013级高三下期第三次月考
数 学 试 题 卷（理科） 2013.5
数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.向量 ，且 ∥ ，则锐角 的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
3. 的展开式中，常数项等于（ ）
A. 15 B. 10 C. D.
4.在等差数列 中每一项均不为0，若 ，则 （ ）
A. 2014 B. 2014 C. 2013 D. 2014
5.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
6.在 中，已知 ，那么 一定是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
7.若定义在R上的函数 的导函数是 ，则函数 的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
8 右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值。若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有 ( )
A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个
9 已知正数 满足 则 的最小值为（ ）
A. B. 4 C. D.
10过双曲线 的左焦点
，作倾斜角为 的直线FE交该双曲
线右支于点P，若 ，且
则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共 分)
二、题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上.
11.在复平面内，复数 对应的点位于虚轴上，则
12.某四面体的三视图如下图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______.
13.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，3， ，9的9个小正方形，使得任意相邻（由公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的涂法共有 种。
考生注意：14，15，16三题为选作题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分
14． 是圆O的直径， 为圆O上一点，过 作圆O的切线交 延长线于点 ，若DC=2，BC=1，则 .
15.在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为 、 ，则 （其中O为极点）的面积为
16 .若不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围为
三.解答题.（本大题6个小题，共75分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定位置）
17．（本小题满分13分）
已知向量 ， ，函数
图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点 。
（1）求函数 的解析式
（2）当 时，求函数 的单调区间。
18 （本小题满分13分）
设甲、乙、丙三人进行围棋比赛，每局两人参加，没有平局。在一局比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 。比赛顺序为：首先由甲和乙进行第一局的比赛，再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛，依此类推，在比赛中，有选手获胜满两局就取得比赛的胜利，比赛结束。
（1）求只进行了三局比赛，比赛就结束的概率；
（2）记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为 ，求 的概率分布列和数学期望 。
19 （本小题满分13分）
已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（Ⅰ）当 时，求曲线 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若函数 存在一个极大值和一个极小值，且极大值与极小值的积为 ，求 的
值.
20 （本小题满分12分）
如图，四边形ABCD中， 为正三角形， ， ，AC与BD交于O点．将 沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为 ，且P点在平面ABCD内的射影落在 内．
（Ⅰ）求证： 平面PBD；
（Ⅱ）若 时，求二面角 的余弦值。
21（本小题满分12分）
中心在坐标原点，焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ，且经过点 。
若分别过椭圆的左右焦点 、 的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆分别交于A、
B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率 、 、 、 满足
．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在定点M、N，使得 为定值．若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．
22 （本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列 满足： 。
（1）求 的通项公式
（2）当 时，求证：
2013年重庆一中高2013级高三下期第三次月考
数 学 答 案（理科） 2013.5
一.选择题.(每小题5分,共50分)
题号12345678910
答案DDACABCCB B
二.题.(每小题5分,共25分)
11.0 12. 13. 14. 15. 16.
三.解答题.(共75分)
17.(13分)
解：（1）
，由题意得周期 故 ，又图象过点 所以 ，即 ，而 ，故 ，
则：
（2）当 时，
当 时，即 时， 是减函数。
当 时，即 时， 是增函数
则函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是
18.(13分)
解：（1）只进行三局比赛，即丙获胜比赛就结束的概率为
（2）
，
的分布列为：
234
19.(13分)
解：（Ⅰ） ， 当 时， ，
， ，所以曲线 在 处的切线方程为 切线与 轴、 轴的交点坐标分别为 ， ， 所以，所求面积为 .
（Ⅱ）因为函数 存在一个极大值点和一个极小值点，
所以，方程 在 内存在两个不等实根，
. ，则
设 为函数 的极大值和极小值，
则 ， ，
因为， ，所以， ，
即 ， ， ，
解得， ，此时 有两个极值点，所以 .
20.(12分)
解：（1）取BD中点Q，则 三点共线，即Q与O重合。
则 面PBD
（2）因为AC 面PBD，而 面ABCD，所以面ABCD 面PBD，则P点在面ABCD上的射影点在交线BD上（即在射线OD上），所以PO与平面ABCD所成的角 。以O为坐标原点，OA为 轴，OB为 轴建空间直角坐标系。 ，因为AC 面PBD，所以面PBD的法向量 ，设面PAB的法向量 ，又 ，由 ，得 ①，又 ，由 ，得
②， 在①②中令 ，可得 ，则
所以二面角 的余弦值
21.(12分)
解：（1）设椭圆方程为 ，则由题意知 ，则
，则椭圆方程为 ，代入点 的坐标可得
，所求椭圆方程为
（2）当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)．
当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为 ， ，设 ， ，
由 得 ，∴ ， ．
，同理 ．∵ ， ∴ ，即 ．又 ， ∴ ．
设 ，则 ，即 ，
由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)也满足，∴ 点椭圆上，则存在点M、N其坐标分别为(0 , -1)、(0, 1)，使得 为定值 ．
22(12分)
解：（1） ，猜测： 。下用数学归纳法证明：
①当 ，猜想成立；
②假设当 时猜想成立，即 ，
由条件 ，
，
两式相减得： ，则当 时，
，
时，猜想也成立。
故对一切的 成立。
（2） ，即证：
对 ，令 （ ），则
，
显然 ， ，所以 ，
所以 ， 在 上单调递减．
由 ，得 ，即 ．
所以 ， ．
所以
． 得证。
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