数学理科试题
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷()和第Ⅱ卷(非)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）
1．复数 （是虚数单位）在复平面内对应的点是位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设 ，则“ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知集合 ， ,且 ,则 （ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4．设z=x+y，其中x，y满足 当Z的最大值为6时， 的值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
5．如下图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 ，则输出 的值为（ ）
A. 12 B. 6 C. 3 D. 0
6． 的三个内角 对应的边分别 ，且 成等差数列，则角 等于（ ）
A . B.
C. D.
7．设 ，则二项式 展开式中的 项的系数为（ ）
A . B. 20
C. D. 160
8.如下图所示，在棱长为2的正方体 内（含正方体表面）任取一点 ，则 的概率 （ ）
A. B. C. D.
9．已知平面上的线段及点 ，在上任取一点 ，线段 长度的最小值称为点 到线段的距离，记作 ．设是长为2的线段，点集 所表示图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
10．如下图所示，有三根针和套在一根针上的 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。
（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面。
若将 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为 ，则 =（ ）
A. 33 B. 31 C.17 D. 15
二、题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个长方形的面积和的 ，且样本容量为160，则中间一组的频数为
12.在平面直角坐标系 中，若双曲线 的焦距为8，则
13.如图，矩形 的一边 在 轴上，另外两个顶点 在函数 的图象上.若点 的坐标为 且 ，记矩形
的周长为 ，则
14．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
15.我国齐梁时代的数学家祖?（公元5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．
设：由曲线 和直线 ， 所围成的平面图形，绕 轴旋转一周所得到的旋转体为 ；由同时满足 ， ， ， 的点 构成的平面图形,绕 轴旋转一周所得到的旋转体为 .根据祖?原理等知识，通过考察 可以得到 的体积为
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分13分)
已知 为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的伴随向量，同时称函数 为向量 的伴随函数．
（Ⅰ）设函数 ，试求 的伴随向量 的模；
（Ⅱ）记 的伴随函数为 ，求使得关于 的方程 在 内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围．
17．（本小题满分13分）
某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．
（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
（Ⅱ）记 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量 的分布列和数学期望．
18．（本小题满分13分）
如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上除 、 外的一个动点， 垂直于半圆 所在的平面， ∥ ， ， ， ．
⑴证明：平面 平面 ；
⑵当三棱锥 体积最大时，求二面
角 的余弦值．
19．（本小题满分13分）
已知圆 ，椭圆 ．
（Ⅰ）若点 在圆 上，线段 的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点 的横坐标；
（Ⅱ）现有如下真命题：
“过圆 上任意一点 作椭圆 的两条切线，则这两条切线互相垂直”；
“过圆 上任意一点 作椭圆 的两条切线，则这两条切线互相垂直”．
据此,写出一般结论，并加以证明．
20．（本小题满分14分）已知函数 ， （ ）
（1）若函数 存在极值点，求实数b的取值范围；
（2）求函数 的单调区间；
（3）当 且 时，令 ， ( )， ( )为曲线y= 上的两动点，O为坐标原点，能否使得 是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由。
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵A= 有一个属于特征值1的特征向量 .
(Ⅰ) 求矩阵A；
(Ⅱ) 若矩阵B= ，求直线 先在矩阵A，再在矩阵B的对应变换作用下的像的方程.
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程．
已知曲线 的极坐标方程是 ，直线的参数方程是 （为参数）．
（Ⅰ）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与 轴的交点是 , 是曲线 上一动点,求 的最大值.
(3)（本小题满分7分）选修 ：不等式选讲
（I）试证明柯西不等式：
（II）已知 ，且 ，求 的最小值．
福建省福建师大附中2013届5月高考三轮模拟试卷
数学理科试题参考答案
1-5 DCDAB 6-10 BCADB 11、32 12、3 13、216 14． 15.
16．解：（Ⅰ）∵ ， ……… 2分
∴ ． ………………………… 4分
故 . ……………………… 5分
（Ⅱ）由已知可得 ，………………7分
∵ ， ∴ ，
故 . ……………………… 9分
∵当 时，函数 单调递增，且 ；
当 时，函数 单调递减，且 .
∴使得关于 的方程 在 内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围为 ． … 13分
17．（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件 ，
则 ，
故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为 ． ………………4分
（Ⅱ）解：随机变量 的所有取值为 ． ………………5分
， ，
， ，
． ………………10分
所以，随机变量 的分布列为:
………11分
． ………………13分
18．（Ⅰ）证明：因为 是直径，所以 ………………1分，
因为 平面 ，所以 ………………2分，
因为 ，所以 平面 ………………3分
因为 ， ，所以 是平行四边形， ，所以 平面 ………………4分，
因为 平面 ，所以平面 平面 ………………5分
（Ⅱ）依题意， ………………6分，
由（Ⅰ）知
，当且仅当 时等号成立 ………………8分
如图所示，建立空间直角坐标系，则 ， ， ，则 ， ， ， ……………………9分
设面 的法向量为 ， ，即 ， ……………………10分
设面 的法向量为 ， ，即 ， ……………12分
可以判断 与二面角 的平面角互补 二面角 的余弦值为 。 ……………………13分
19. 解法一：
（Ⅰ）设点 ，则 ， （1） ……………………1分
设线段 的垂直平分线与 相交于点 ，则 ，……2分
椭圆 的右焦点 ， ………………3分
, ， ，
， （2）…………………………4分
由（1），（2），解得 ， 点 的横坐标为 ． ……………5分
（Ⅱ）一般结论为：
“过圆 上任意一点 作椭圆 的两条切线，则这两条切线互相垂直．” ……………………………6分
证明如下：
（?）当过点 与椭圆 相切的一条切线的斜率
不存在时，此时切线方程为 ，
点 在圆 上 ， ，
直线 恰好为过点 与椭圆 相切的另一条切线
两切线互相垂直．………………………………7分
（?）当过点 与椭圆 相切的切线的斜率存在时，
可设切线方程为 ，
由 得 ，
整理得 ，……………8分
直线与椭圆相切，
，
整理得 ，………………………9分
， ………………………10分
点 在圆 上， ， ， ， 两切线互相垂直，
综上所述，命题成立．…………………………………………………13分
解法二：
（Ⅰ）设点 ，则 ， （1）……………………………1分
椭圆 的右焦点 ，………………………………2分
点 在线段 的垂直平分线上， ，
， ， （2）……4分
由（1），（2），解得 ， 点 的横坐标为 ．……………5分
（Ⅱ）同解法一．
20. 解：（Ⅰ） ，若 存在极值点，则 有两个不相等实数根。所以 ， ……………2分
解得 ……………3分
(Ⅱ) ……………4分
当 时， ，函数 的单调递增区间为 ；……………5分
当 时， ，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。
……………7分
（Ⅲ） 当 且 时， 假设使得 是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上。则 且 。……………8分
不妨设 。故 ，则 。 ， 该方程有解
………………………………………………9分
当 时，则 ，代入方程 得 即 ，而此方程无实数解； …………………………10分
当 时， 则 ； …………11分
当 时，则 ，代入方程 得 即 ， …………………………………12分
设 ，则 在 上恒成立。 在 上单调递增，从而 ，则值域为 。
当 时，方程 有解，即方程 有解。…………13分
综上所述，对任意给定的正实数 ，曲线上总存在 两点，使得 是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上。………………………………14分
21．（1）【解析】(Ⅰ)由已知得 ，所以 …………2分
解得 故A= . ……………………………………………………3分
(Ⅱ) BA= = ，因为矩阵BA 所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线 上的两点（0，1），（-1，2）， …………………………………………4分
， ，由得：（0，1），（-1，2）在矩阵A所对应的线性变换下的像是点（1，-3），（-1，-1） ……………………………6分
从而直线 在矩阵BA所对应的线性变换下的像的方程为 .…………7分
（2）解：（Ⅰ）曲线 的极坐标方程可化为 ，
又 ,
所以曲线 的直角坐标方程为 …………………3分
（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得 ,…………4分
令 ,得 ,即 点的坐标为(2,0). 又曲线 为圆，圆 的圆心坐标为(0,1)，
半径 ，则 ,……………………………………………………6分
所以 .即 的最大值为 ……………………7分
（3）（Ⅰ）证明：左边= ,
右边= ,
左边 右边 , ………………2分
左边 右边 , 命题得证 . ………………………3分
（Ⅱ）令 ，则 ,
, ,
, ………………………4分
由柯西不等式得： , ………………………5分
当且仅当 ，即 ，或 时………6分
的最小值是1 . ……………………7分
解法2： , ,
, ………………4分
， ………………………5分
当且仅当 ，或 时 …………………6分
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