2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1. 本试卷分为两部分, 第一部分为, 第二部分为非.
2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(共50分)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设全集为R, 函数 的定义域为, 则 为
(A) [－1,1](B) (－1,1)
(C) (D)
2. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为
(A) 25
(B) 30
(C) 31
(D) 61
3. 设a, b为向量, 则“ ”是“a//b”的
(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件
4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为
(A) 11(B) 12(C) 13(D) 14
5. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是
(A) (B)
(C) (D)
6. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是
(A) 若 , 则 (B) 若 , 则
(C) 若 , 则 (D) 若 , 则
7. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若 , 则△ABC的形状为
(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定
8. 设函数 , 则当x>0时, 表达式的展开式中常数项为
(A) －20(B) 20(C) －15(D) 15
9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于3002的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位)的取值范围是
(A) [15,20](B) [12,25]
(C) [10,30](D) [20,30]
10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有
(A) [－x] ＝ －[x](B) [2x] ＝ 2[x]
(C) [x＋y]≤[x]＋[y](D) [x－y]≤[x]－[y]
二、题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 双曲线 的离心率为 , 则等于 .
12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .
13. 若点(x, y)位于曲线 与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为 .
14. 观察下列等式:
…
照此规律, 第n个等式可为 .
15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)
A. (不等式选做题) 已知a, b, , n均为正数, 且a＋b＝1, n＝2, 则(a＋bn)(b＋an)的最小值为 .
B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于 内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD＝2DA＝2, 则PE＝ .
C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角 为参数, 则圆 的参数方程为 .
三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16. (本小题满分12分)
已知向量 , 设函数 .
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在 上的最大值和最小值.
17. (本小题满分12分)
设 是公比为q的等比数列.
(Ⅰ) 推导 的前n项和公式;
(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列 不是等比数列.
18. (本小题满分12分)
如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;
(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角 的大小.
19. (本小题满分12分)
在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.
20. (本小题满分13分)
已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦N的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是 的角平分线, 证明直线l过定点.
21. (本小题满分14分)
已知函数 .
(Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;
(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数.
(Ⅲ) 设a<b, 比较 与 的大小, 并说明理由.
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