2013年海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学 （文科）
2013.4
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 集合 ，则
A. B. C. D.
2.等差数列 中, 则 的值为
A. B. C. 21 D.27
3. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的 值为5，则输出的 值为
Ａ. B. C. D.
4. 已知 ，下列函数中，在区间 上一定是减函数的是
Ａ. B.
C. D.
5. 不等式组 表示面积为1的直角三角形区域，则 的值为
A. B. 1 C. 2 D.3
6. 命题 ；
命题 双曲线 的离心率为 .
则下面结论正确的是
A. 是假命题 B. 是真命题C. 是假命题 D. 是真命题
7.已知曲线 在点 处的切线经过点 ，则 的值为
Ａ. B. C. D.
8. 抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，点 为其准线上的动点，当 为等边三角形时，其面积为
A. B. 4 C. 6 D.
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 在复平面上，若复数 （ ）对应的点恰好在实轴上，则 =_______.
10.若向量 满足 ，则 的值为______.
11.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为______.
12.在 中，若 ，则
13.已知函数 有三个不同的零点，则实数 的取
值范围是_____.
14.已知函数 ，任取 ，定义集合:
，点 ， 满足 . 设 分别表示集合
中元素的最大值和最小值，记 .则
(1) 若函数 ，则 =______;
（2）若函数 ，则 的最小正周期为______.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数 .
（Ⅰ）求 的值和 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间 上的最大值和最小值.
16. （本小题满分13分）
在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.
（I）求该考场考生中“与表达”科目中成绩为A的人数；
（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率.
17. （本小题满分14分）
在四棱锥 中， 平面 ， 是正三角形， 与 的交点 恰好是 中点，又 ， ，点 在线段 上，且 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）设平面 平面 = ，试问直线 是否与直线 平行，请说明理由.
18. （本小题满分13分）
函数 ,其中实数 为常数.
(I) 当 时，求函数的单调区间；
(II) 若曲线 与直线 只有一个交点，求实数 的取值范围.
19. （本小题满分14分）
已知圆 ： ,若椭圆 ： （ ）的右顶点为圆 的圆心，离心率为 .
（I）求椭圆 的方程；
（II）已知直线 ： ，若直线 与椭圆 分别交于 ， 两点，与圆 分别交于 ， 两点（其中点 在线段 上），且 ，求 的值.
20. （本小题满分13分）
设 为平面直角坐标系上的两点，其中 .令 ， ，若 ,且 ，则称点 为点 的“相关点”，记作： .
（Ⅰ）请问：点 的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，若在，写出圆的方程；若不在，说明理由；
（Ⅱ）已知点 ，若点 满足 ，求点 的坐标；
（Ⅲ）已知 为一个定点，点列 满足： 其中 ，求 的最小值.


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