广东省惠州市2013届高三第二次调研考试数学试题（文科）
第Ⅰ卷（，共50分）
一．：本大题共l0小题，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．每小题5分，满分50分．
1.命题“ ”的否命题是( )．
A. B.
C. D.
2.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密），接受方由密文 明文（解密），已知加密规则为：明文 对应密文 ，例如，明文 对应密文 ．当接受方收到密文 时，则解密得到的明文为（ ）．
A． 4，6，1，7 B． 7，6，1，4 C． 6，4，1，7 D． 1，6，4，7
3.已知向量 ， ，若 ，则实数 的值等于（ ）．
A. B. C. D.
4.已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，则椭圆的离心率等于（ ）．
A． B． C． D．
5.在一次射击训练中，一小组的成绩如下表：
环数
已知该小组的平均成绩为 环，那么成绩为 环的人数是（ ）．
． ． ． ．
6. 下列函数为奇函数的是（ ）．
． ． ． ．
7. 下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（ ）．
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
8.如果执行下面的程序框图，那么输出的 （ ）．
Ａ．2450 Ｂ.2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652
9.将函数 的图象先向左平移 ，然后将所得图象上
所有的点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），则所得到的图象
对应的函数解析式为（ ）．
A． B． C． D．
10.已知全集R，集合 ,若a>b>0，
则有( )．
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二．题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．
11．化简： ．
12. 已知 是定义在R上的函数，且对任意 ，都有： ，又 则 ．
13.若实数 满足条件 ，则目标函数 的最大值为_____ ．
14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，圆 上的动点到直线 的距离的最大值是 ．
15. (几何证明选讲选做题)如右图所示， 是圆 的直径，
， ， ，则 ．
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．
16.（本小题12分） 在△ABC中， 是角 所对的边，且满足 ．
(Ⅰ)求角 的大小；
(Ⅱ)设 ，求 的最小值.
17．(本小题14分)已知：正方体 ， ，E为棱 的中点．
(Ⅰ) 求证： ；
(Ⅱ) 求证： 平面 ；
（Ⅲ）求三棱锥 的体积．
18．（本小题12分）有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是 ．
(Ⅰ)求他乘火车或飞机来的概率；
(Ⅱ)求他不乘轮船来的概率；
（Ⅲ)如果他来的概率为 ，请问他有可能是乘何种交通工具来的？
19.（本小题14分）设函数 的图象关于原点对称， 的图象在点 处的切线的斜率为 ，且当 时 有极值．
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)求 的所有极值．
20. (本小题14分)已知圆 ： 和圆 ，直线 与圆 相切于点 ；圆 的圆心在射线 上，圆 过原点，且被直线 截得的弦长为 ．
(Ⅰ)求直线 的方程
(Ⅱ)求圆 的方程．
21．（本小题14分）已知数列 是等差数列， ；数列 的前n项和是 ，且 ．
(Ⅰ) 求数列 的通项公式；
(Ⅱ) 求证：数列 是等比数列；
(Ⅲ) 记 ，求 的前n项和 ．
广东省惠州市2013届高三第二次调研考试
数学试题（文科）参考答案
答案
1.解析：命题“ ”的否命题是：“ ”，故选C．
2.解析：由已知，得： ，故选 ．
3.解析：若 ，则 ，解得 ．故选 ．
4.解析：由题意得 ，又 ．
故选 ．
5.解析：设成绩为 环的人数是 ，由平均数的概念，得： ．
故选 ．
6.解析： 是偶函数； 是指数函数； 是对数函数．故选 ．
7.解析：①的三视图均为正方形；②的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为圆；④的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为正方形．故选 ．
8.解析：程序的运行结果是 ，选 ．
9.解析： 的图象先向左平移 ，横坐标变为原来的 倍 ．答案： ．
10.解析：特殊值法：令 ，有 ．故选 ．
题号1112131415
答案
11.解析： ．
12.解析：令 ，则 ，令 ，则 ，
同理得 即当 时， 的值以 为周期，
所以 ．
13.解析：由图象知：当函数 的图象过点 时，
取得最大值为2．
14. (坐标系与参数方程选做题)解析：将极坐标方程转化成直角坐标方程，圆 上的动点到直线 的距离的最大值就是圆心 到直线 的距离 再加上半径 ．故填 ．
15. (几何证明选讲选做题)解析：连结 ，
则在 和 中： ，
且 ，所以 ，
故 ．
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．
16.析：主要考察三角形中的边角关系、向量的坐标运算、二次函数的最值．
解：(Ⅰ)∵ ，∴ ， ………………3分
又∵ ，∴ ． ……………………………………………5分
（Ⅱ） ……………………………………………6分
， ………………………8分
∵ ，∴ ． ……………10分
∴当 时，取得最小值为 ． …………12分
17．析：主要考察立体几何中的位置关系、体积．
解：(Ⅰ)证明：连结 ，则 // ， …………1分
∵ 是正方形，∴ ．∵ 面 ，∴ ．
又 ，∴ 面 ． ………………4分
∵ 面 ，∴ ，
∴ ． …………………………………………5分
（Ⅱ）证明：作 的中点F，连结 ．
∵ 是 的中点，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ． ………7分
∵ 是 的中点，∴ ，
又 ，∴ ．
∴四边形 是平行四边形， // ，
∵ ， ，
∴平面 面 ． …………………………………9分
又 平面 ，∴ 面 ． ………………10分
（3） ． ……………………………11分
． ……………………………14分
18．析：主要考察事件的运算、古典概型．
解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件 ，则 ， ， ， ，且事件 之间是互斥的．
(Ⅰ)他乘火车或飞机来的概率为 ………4分
(Ⅱ)他乘轮船来的概率是 ，
所以他不乘轮船来的概率为 ． ………………8分
（Ⅲ)由于 ，
所以他可能是乘飞机来也可能是乘火车或汽车来的． …………………12分
19.析：主要考察函数的图象与性质，导数的应用．
解：(Ⅰ)由函数 的图象关于原点对称，得 ，………………1分
∴ ，∴ ． …………2分
∴ ，∴ ． ……………………………4分
∴ ，即 ． ……………………6分
∴ ． ……………………………………………………7
0+0
?极小?极大?
∴ ． ………………………14分
20．析：主要考察直线．圆的方程，直线与圆的位置关系．
解：(Ⅰ)（法一）∵点 在圆 上， …………………………2分
∴直线 的方程为 ，即 ． ……………………………5分
（法二）当直线 垂直 轴时，不符合题意． ……………………………2分
当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，即 ．
则圆心 到直线 的距离 ，即： ，解得 ，……4分
∴直线 的方程为 ． ……………………………………………5分
（Ⅱ）设圆 ： ，∵圆 过原点，∴ ．
∴圆 的方程为 ．…………………………7分
∵圆 被直线 截得的弦长为 ，∴圆心 到直线 ： 的距离：
． …………………………………………9分
整理得： ，解得 或 ． ……………………………10分
∵ ，∴ ． …………………………………………………………13分
∴圆 ： ． ……………………………………14分
21．析：主要考察等差、等比数列的定义、式，求数列的和的方法．
解：(Ⅰ)设 的公差为 ，则： ， ，
∴ ． …………………………………………4分
（Ⅱ）当 时， ，由 ，得 ． …………………5分
当 时， ， ，
∴ ，即 ． …………………………7分
∴ ． ……………………………………………………………8分
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列． …………………………………9分
（Ⅲ）由（2）可知： ． ……………………………10分
∴ ． …………………………………11分
∴ ． …14分
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