数学试题（理工类）
2013.4
本试卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知U＝{1,2,3, 4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则CU(A∪B)等于
A．{6,8} B．{5,7} C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}
2．已知 为虚数单位，复数z= ，则复数 的虚部是
A． B． C． D．
3．函数y= 与y= 图形的交点为（a，b），则a所在区间是
A．（0，1）B．（1，2 ） C．（2，3 ） D．（3，4）
4. 已知F1、F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0， b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为
A．4＋23 B.3－1
C. 3＋12 D.3＋1
5. 右边的程序框图，若输出S的值为－14，
则判断框内可填写
A．i<6? B．i<8?
C．i<5? D.i<7?
6. 函数f(x)=
A．在 上递增，在 上递减
B．在 上递增，在 上递减
C．在 上递增，在 上递减
D．在 上递增，在 上递减
7. 若某空间几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积是
A． 13 B．23 C. 1 D. 2
8. 已知点 是边长为1的等边 的中心，
则 等于
A． B．
C． D．
9． 从6名同学中选4人分别到A、B、C、D四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去D城市游览，则不同的选择方案共有
A．96种B．144种C．240种D．300种
10．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是
A．95B．91C．88D．75
11. 已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 、 ，则 等于
A．3 B.4 C. D.
12. 设函数f(x)=x- ,对任意 恒成立，则实数m的取值范围是
A．(-1 , 1) B. C. D. 或（
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 已知函数f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围是
________________.
14. 已知向量
则 的值为.
15. 在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为 ，则事件A恰好发生一次的概率为。
16．底面半径为1，高为3的圆锥，其内接圆柱的底面半径为R，内接圆柱的体积最大时R值为。
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）
已知函数 在点 处取得极值。
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程 在区间[0，2]上有两个不等实根，求b的取值范围；
18．(本小题满分12分)
某班同学利用国庆节进行社会实践，对 岁的人群随机抽取 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求 、 、 的值；
（Ⅱ）从 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 人参加户外低碳体验活动，其中选取 人作为领队，记选取的 名领队中年龄在 岁的人数为 ，求 的分布列和期望 。
19．（本题满分12分)
如图，已知四棱锥P－ABCD，侧面PAD为边长
等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠BDA＝60°.
（Ⅰ）证明：∠PBC＝90°；
（Ⅱ）若PB＝3，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
设椭圆 的离心率 ，右焦点到直线 的距离 为坐标原点。
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 作两条互相垂直的射线，与椭圆 分别交于 两点，证明点 到直线 的距离为定值. 并求出定值
21．（本小题12分）
已知函数 (x) 定义在 上， ，满足 ，且数列 ．
（Ⅰ）证明： (x)在（-1，1）上为奇函数；
（Ⅱ）求 的表达式；
（Ⅲ）若 ，（ ）.试求 .
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分） 选修4―1；几何证明选讲．
如图， 的角平分线 的延长线交它的外接圆于点
（Ⅰ）证明： ∽
（Ⅱ）若 的面积 ，求 的大小。
23.（本小题满分10分）选修4―4;坐标系与参数方程．
已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程 .
（Ⅰ）写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线 经过伸缩变换 得到曲线 ，设曲线 上任一点为 ，
求 的最小值.
24．（本小题满分10分）选修4―5；不等式选讲．
已知 ，设关于x的不等式 + 的解集为A.
（Ⅰ）若 =1,求A；
（Ⅱ）若 A=R, 求 的取值范围。
数学（理工类）参考答案及评分标准
∴ 所求实数 的取值范围是 …………………12分
18．解析：（Ⅰ）第二组的频率为 ，所以高为 ．频率直方图如下：
-------------------------------2分
第一组的人数为 ，频率为 ，所以 ．
第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为 ，所以 ．
第四组的频率为 ,第四组的人数为 ，
所以 ． -------------------------------6分
（Ⅱ）因为 岁年龄段的“低碳族”与 岁年龄段的“低碳族”的比值为 ，所以采用分层抽样法抽取18人， 岁中有12人， 岁中有6人．随机变量 服从超几何分布．
， ，
， ． 分
所以随机变量 的分布列为
0123
∴数学期望 ．--------------------12分
19．(1)取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB，
∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB?平面POB，
∴BC⊥PB，即∠PBC＝90°. …………………………5分
(2)如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz，则A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)，由PO＝BO＝3，PB＝3，得∠POB＝120°，∴∠POz＝30°，∴P(0，－32， 32)，则AB→＝(－1，3，0)，BC→＝(－1,0,0)，PB→＝(0，332，－32)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则－x＝0332y－32z＝0，取z＝3，则n＝(0,1，3)，
设直线 AB与平面PBC所成的角为θ，则
sinθ＝cos〈AB→，n〉＝34. …………………………12分
20、解：（I）由
∴ ，又 ，∴ 为等比数列,其通项公式为
．…………..6分
(3)解：∵ + =6n, ∴ + =6(n+1),两式相减，得 - =6，
∴ 与 均为公差为6 的等差数列，
∴易求得 = 。………….12分
22. 解：证明：（Ⅰ）由已知条件，可得
因为 是同弧上的圆周角，所以 ，
故 ∽ …….5分
（Ⅱ）因为 ∽ ，所以 ，即
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