数 学 （理科） 2013.5
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.集合 ， ，则
A． B． C． D．
2.已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ，则 的值为
A． B． C． 或 D． 或
3. 如图，在边长为 的正方形内有不规则图形 . 向正方形内随机撒豆子，若
撒在图形 内和正方形内的豆子数分别为 ，则图形 面积的估计值为
A. B. C. D.
4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为
A. B.
C. D.
5.在四边形 中，“ ，使得 ”是“四边形 为平行四边形”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为
A. B. C. D.
7.双曲线 的左右焦点分别为 ，且 恰为抛物线 的焦点，设双曲线 与该抛物线的一个交点为 ，若 是以 为底边的等腰三角形，则双曲线 的离心率为
A. B. C. D.
8. 若数列 满足：存在正整数 ，对于任意正整数 都有 成立，则称数列 为周期数列，周期为 . 已知数列 满足 ，
则下列结论中错误的是
A. 若 ，则 可以取3个不同的值
B. 若 ，则数列 是周期为 的数列
C. 且 ，存在 ， 是周期为 的数列
D. 且 ，数列 是周期数列
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 在极坐标系中，极点到直线 的距离为_______.
10.已知 ，则 按照从大到小排列为______.
11.直线 过点 且倾斜角为 ，直线 过点 且与直线 垂直，则直线 与直线 的交点坐标为____.
12.在 中， ，则
13.正方体 的棱长为 ，若动点 在线段 上运动，则 的取值范围是______________.
14.在平面直角坐标系中，动点 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 的距离，记点 的轨迹为曲线 .
(I) 给出下列三个结论：
①曲线 关于原点对称；
②曲线 关于直线 对称；
③曲线 与 轴非负半轴， 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 ；
其中，所有正确结论的序号是_____;
(Ⅱ)曲线 上的点到原点距离的最小值为______.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的定义域；
(Ⅱ) 求函数 的单调递增区间.
16.（本小题满分13分）
福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为 ，获得50元奖金的概率为 .
(I) 假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；
（II）为了能够筹得资金资助福利事业, 求 的取值范围.
17. （本小题满分14分）
如图1，在直角梯形 中， ， ， ，
. 把 沿对角线 折起到 的位置,如图2所示,使得点 在平面 上的正投影 恰好落在线段 上，连接 ,点 分别为线段 的中点．
(I) 求证：平面 平面 ；
(II) 求直线 与平面 所成角的正弦值；
(III)在棱 上是否存在一点 ,使得 到点 四点的距离相等？请说明理由.
18. （本小题满分13分）
已知函数 ,点 为一定点,直线 分别与函数 的图象和 轴交于点 , ,记 的面积为 .
（I）当 时,求函数 的单调区间；
（II）当 时, 若 ,使得 , 求实数 的取值范围.
19. （本小题满分14分）
已知椭圆 的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为 的菱形的四个顶点.
（I）求椭圆 的方程；
（II）直线 与椭圆 交于 ， 两点，且线段 的垂直平分线经过点 ，求
（ 为原点）面积的最大值.
20. （本小题满分13分）
123
101
设 是由 个实数组成的 行 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.
(Ⅰ) 数表 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 表1
(Ⅱ) 数表 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数 的所有可能值；
(Ⅲ)对由 个实数组成的 行 列的任意一个数表 ，
能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之 表2
和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.
海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学 （理科）
参考答案及评分标准 2013.5
一、（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号12345678
答案BDCBCABD
9． 2 10．
11.
12．
13．
14．②③;
二、题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，
共30分）
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．（本小题满分13分）
解：（I）因为
所以 ……………………2分
所以函数的定义域为 ……………………4分
（II）因为 ……………………6分
……………………8分
又 的单调递增区间为 ，
令
解得 ……………………11分
又注意到
所以 的单调递增区间为 ， …………………13分
16. 解：（I）设至少一张中奖为事件
则 …………………4分
(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为
则 可以取 …………………6分
的分布列为
…………………8分
所以 的期望为
…………………11分
所以当 时，即 …………………12分
所以当 时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13分17.解：（I）因为点 在平面 上的正投影 恰好落在线段 上
所以 平面 ，所以 …………………1分
因为在直角梯形 中， ， ，
，
所以 ， ，所以 是等边三角形，
所以 是 中点， …………………2分
所以 …………………3分
同理可证
又
所以平面 平面 …………………5分
（II）在平面 内过 作 的垂线
如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， …………………6分
因为 ，
设平面 的法向量为
因为 ，
所以有 ，即 ，
令 则 所以 …………………8分
…………………10分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 …………………11分
(III)存在，事实上记点 为 即可 …………………12分
因为在直角三角形 中， ， …………………13分
在直角三角形 中，点
所以点 到四个点 的距离相等 …………………14分
18.解: (I) 因为 ，其中 …………………2分
当 ， ，其中
当 时， ， ，
所以 ，所以 在 上递增， …………………4分
当 时， ， ，
令 ， 解得 ，所以 在 上递增
令 ， 解得 ，所以 在 上递减 ……………7分
综上， 的单调递增区间为 ，
的单调递增区间为
（II）因为 ，其中
当 ， 时，
因为 ，使得 ，所以 在 上的最大值一定大于等于
，令 ，得 …………………8分
当 时，即 时
对 成立， 单调递增
所以当 时， 取得最大值
令 ，解得 ，
所以 …………………10分
当 时，即 时
对 成立， 单调递增
对 成立， 单调递减
所以当 时， 取得最大值
令 ，解得
所以 …………………12分
综上所述， …………………13分
19.解:(I)因为椭圆 的四个顶点恰好是一边长为2，
一内角为 的菱形的四个顶点,
所以 ,椭圆 的方程为 …………………4分
(II)设 因为 的垂直平分线通过点 ， 显然直线 有斜率，
当直线 的斜率为 时,则 的垂直平分线为 轴,则
所以
因为 ，
所以 ，当且仅当 时， 取得最大值为 ………………7分
当直线 的斜率不为 时,则设 的方程为
所以 ，代入得到
当 , 即
方程有两个不同的解
又 ， …………………8分
所以 ，
又 ，化简得到
代入 ，得到 …………………10分
又原点到直线的距离为
所以
化简得到 …………………12分
因为 ，所以当 时，即 时， 取得最大值
综上， 面积的最大值为 …………………14分
20.（I）解：法1：
法2： …………………3分
(II) 每一列所有数之和分别为2，0， ，0，每一行所有数之和分别为 ，1;
①如果首先操作第三列，则
则第一行之和为 ，第二行之和为 ，
这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，
所以 或
当 时，则接下来只能操作第一行，
此时每列之和分别为
必有 ，解得
当 时，则接下来操作第二行
此时第4列和为负，不符合题意. …………………6分
② 如果首先操作第一行
则每一列之和分别为 ， ， ，
当 时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉
当 时， ， 至少有一个为负数，
所以此时必须有 ，即 ，所以 或
经检验， 或 符合要求
综上： …………………9分
（III）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。证明如下：
记数表中第 行第 列的实数为 （ ），各行的数字之和分别为 ，各列的数字之和分别为 ， ， ，数表中 个实数之和为 ，则 。记
．
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