参考公式:台体体积公式 ,其中 分别是台体的上、下底面积, 表示台体的高.
一、:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 , ,则 ( )
A . B． C． D．
【解析】D；易得 , ,所以 ,故选D．
2．定义域为 的四个函数 , , , 中,奇函数的个数是( )
A . B． C． D．
【解析】C；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为 与 ,故选C．
3．若复数 满足 ,则在复平面内, 对应的点的坐标是( )
A . B． C． D．
【解析】C； 对应的点的坐标是 ,故选C．
4．已知离散型随机变量 的分布列为
则 的数学期望 ( )
A . B． C． D．
【解析】A； ,故选A．
5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )
A . B． C． D．
【解析】B；由三视图可知,该四棱台上下底面边长分别为
和 的正方形,高为 ,故 ,,故选B．
6．设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A . 若 , , ,则 B．若 , , ,则
C．若 , , ,则 D．若 , , ,则
【解析】D；ABC是典型错误命题,选D．
7．已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ,离心率等于 ,在双曲线 的方程是 ( )
A . B． C． D．
【解析】B；依题意 , ,所以 ,从而 , ,故选B．
8．设整数 ,集合 .令
若 和 都在 中,则下列选项正确的是( )
A . , B． ,
C． , D． ,
【解析】B；特殊值法,不妨令 , ,则 , ,故选B．
如果利用直接法:因为 ， ，所以 …①， …②， …③三个式子中恰有一个成立； …④， …⑤， …⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时 ，于是 ， ；第二种：①⑥成立，此时 ，于是 ， ；第三种：②④成立，此时 ，于是 ， ；第四种：③④成立，此时 ，于是 ， .综合上述四种情况，可得 ， .
二、题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分
(一)必做题(9～13题)
9．不等式 的解集为___________．
【解析】 ；易得不等式 的解集为 .
10．若曲线 在点 处的切线平行于 轴,则 ______.
【解析】 ；求导得 ,依题意 ,所以 .
11．执行如图所示的程序框图,若输入 的值为 ,则输出 的值为______.
【解析】 ；第一次循环后: ；第二次循环后: ；
第三次循环后: ；第四次循环后: ；故输出 .
12. 在等差数列 中,已知 ,则 _____.
【解析】 ；依题意 ,所以
或
13. 给定区域 : ,令点集
是 在 上取得最大值或最小值的点 ,则 中的点共确定______
条不同的直线.
【解析】 ；画出可行域如图所示,其中 取得最小值时的整点为 ,取得最大值时的整点为 , , , 及 共 个整点.故可确定 条不同的直线.
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）
14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线 的参数方程为 ( 为参数), 在点 处的切线为 ,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 的极坐标方程为_____________.
【解析】 ；曲线 的普通方程为 ,其在点 处的切线 方程为 ,对应的极坐标方程为 ,即 .
15. (几何证明选讲选做题)如图, 是圆 的直径,点 在圆 上,
延长 到 使 ,过 作圆 的切线交 于 .若
, ,则 _________.
【解析】 ；依题意易知 ,所以 ,又
,所以 ,从而 .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（12分）已知函数 , .
(Ⅰ) 求 的值； (Ⅱ) 若 , ,求 ．
【解析】(Ⅰ) ；
(Ⅱ)
因为 , ,所以 ,
所以 ,
所以 .
17．（12分）某车间共有 名工人,随机抽取 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.
(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；
(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.
根据茎叶图推断该车间 名工人中有几名优秀工人；
(Ⅲ) 从该车间 名工人中,任取 人,求恰有 名优秀工人的概率.
【解析】(Ⅰ) 样本均值为 ；
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为 ,
故推断该车间 名工人中有 名优秀工人.
(Ⅲ) 设事件 :从该车间 名工人中,任取 人,恰有 名优秀工人,则
18．（14分）如图1,在等腰直角三角形 中, , , 分别是 上的点, ,
为 的中点.将 沿 折起,得到如图2所示的四棱锥 ,其中 .
(Ⅰ) 证明: 平面 ；(Ⅱ) 求二面角 的平面角的余弦值.
【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得
连结 ,在 中,由余弦定理得
由翻折不变性可知 ,
所以 ,所以 ,
理可证 , 又 ,所以 平面 .
(Ⅱ) 传统法:过 作 交 的延长线于 ,连结 ,
因为 平面 ,所以 ,所以 为二面角 的平面角.
结合图1可知, 为 中点,故 ,从而
所以 ,所以二面角 的平面角的余弦值为 .
向量法:以 点为原点,建立空间直角坐标系 如图所示,
则 , ,
所以 ,
设 为平面 的法向量,则
,即 ,解得 ,令 ,得
由(Ⅰ) 知, 为平面 的一个法向量,
所以 ,即二面角 的平面角的余弦值为 .
19．（14分）设数列 的前 项和为 .已知 , , .
(Ⅰ) 求 的值；(Ⅱ) 求数列 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数 ,有 .
【解析】(Ⅰ) 依题意, ,又 ,所以 ；
(Ⅱ) 当 时, ,
两式相减得
整理得 ,即 ,又
故数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,
所以 ,所以 .
(Ⅲ) 当 时, ；当 时, ；
当 时, ,此时
综上,对一切正整数 ,有 .
20．（14分）已知抛物线 的顶点为原点,其焦点 到直线 : 的距离为 .设 为直线 上的点,过点 作抛物线 的两条切线 ,其中 为切点.
(Ⅰ) 求抛物线 的方程；(Ⅱ) 当点 为直线 上的定点时,求直线 的方程；
(Ⅲ) 当点 在直线 上移动时,求 的最小值.
【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线 的方程为 ,由 结合 ,解得 .
所以抛物线 的方程为 .
(Ⅱ) 抛物线 的方程为 ,即 ,求导得
设 , (其中 ),则切线 的斜率分别为 , ,
所以切线 的方程为 ,即 ,即
同理可得切线 的方程为
因为切线 均过点 ,所以 ,
所以 为方程 的两组解.所以直线 的方程为 .
(Ⅲ) 由抛物线定义可知 , ,
所以
联立方程 ,消去 整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得 ,
所以
又点 在直线 上,所以 ,所以
所以当 时, 取得最小值,且最小值为 .
21．（14分）设函数 (其中 ).
(Ⅰ) 当 时,求函数 的单调区间；(Ⅱ) 当 时,求函数 在 上的最大值 .
【解析】(Ⅰ) 当 时, ,
令 ,得 ,
当 变化时, 的变化如下表:
极大值 极小值
右表可知,函数 的递减区间为 ,递增区间为 , .
(Ⅱ) ,
令 ,得 , ,
令 ,则 ,所以 在 上递增,
所以 ,从而 ,所以
所以当 时, ；当 时, ；
所以
令 ,则 ,
令 ,则
所以 在 上递减,而
所以存在 使得 ,且当 时, ,
当 时, ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减.
因为 , ,所以 在 上恒成立,当且仅当 时取得“ ”.
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