第一讲：几何证明选讲
1．在平面几何中有：Rt△ABC的直角边分别为a,b，斜边上的高为h，则 .类比这一结论，在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱锥P—ABC的高为h，则结论为______________
解析： PA、PB、PC两两互相垂直, PA⊥平面PBC. 由已知有:PD= , 即
2．如图，点 是圆 上的点,且 ,则 对应的劣弧长为 ．
答案：
3．如图，AB为 的直径，C为 上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交 于Q，若 ，AB=4，则 .
答案：3
4．如图4，点 是圆 上的点， 且 ， 则圆 的面积等于 ．
解析:解法一：连结 、 ，则 ，∵ ， ，∴ ，则 ；解法二： ，则
5．如图3，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4， ，则圆O的面积等于 . w.w.w..c.o.m
图3
解析：连结AO,OB,因为 ,所以 , 为等边三角形,故圆O的半径 ,圆O的面积 .
6．如图, 是两圆的交点, 是小圆的直径, 和 分别是 和 的延长线与大圆的交点,已知 ,且 ,则 =______ _____.
7．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB、DE、OC。若AD＝2，AE＝1，则CD的长为 3 。
8．如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，B、C 为切点,且OC = 3，AB = 4，延长OA到D点，则△ABD的面积是_____ ______．
9．如图，已知 与 相交于A，B两点，直线PQ切 于P，与 交于N、Q两点，直线AB交PQ于M，若MN=2， PQ=12，则PM=__4__。
10．如图， 平分 ， ， ，如果 ，则 的长为 ．
11．如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，若CD=4，BD=8，用圆O的半径等于 5 ．
12．如图所示，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是______.
【解析】分别连结OB、OC、AC.∴OB⊥EB，OC⊥EF，
∵∠E=46°，∴∠BOC=134°，∴∠BAC=67°，∵∠DCF=32°，∴∠CAD=32°，∴∠BAD=67°+32°=99°.
答案：99°
13．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=4 cm,AC=3 cm,DE∥BC且DE把△ABC周长分为相等的两部分，则DE=_____.
【解析】∵∠BAC=90°,∴BC=5 cm.
设AD=x cm,AE=y cm,
则x+y=6 ①
②
14．四边形ABCD为圆的内接正方形，AD=4，弦AE平分BC交BC于M，则CE的长为_____.
15.两个相似三角形的面积分别为9 cm2和25 cm2,它们的周长相差6 cm,则较大的三角形的周长为_____cm.
【解析】由题意知，相似三角形的相似比为：
∴较大三角形的周长为15 cm.
答案：15
16．如图，MN是半圆O的直径，A在半圆上,AB⊥MN于B且MB=3BN，设∠AOB=α，则tanα=_______.
【解析】∵MB=3BN,∴OB=BN,又∵AB⊥MN，∴AN=OA，∴AN=OA=ON，∴α=60°，∴tanα= .
答案：
17.如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA=3∶1，BC=10，则AE的长为___.
【解析】∵AE∥BC,
∴△BGF∽△AGE.
∴BF∶AE=BG∶GA=3∶1.
∵D为AC中点，
∴AE=CF.
∴BC∶AE=2∶1.∵BC=10,∴AE=5.
答案：5
18．如图，已知：△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是⊙O的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD的长为_______.
【解析】连结OA,则∠COA=2∠CBA=60°，且由OC=OA知△COA为正三角形，所以OA=2.又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD，所以OD=2OA=4.
答案：4
19．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD= ，AB=3，则BD的长为_____.
【解析】由切割线定理得：DB?DA=DC2，DB（DB+BA）=DC2，DB2+3DB-28=0，DB=4.
答案：4
20．如图,AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC长为_____.
21．如图，P是圆O外的一点，PD为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF=6，PD= ，则∠DFP=____.
【解析】连结OD、DE，则OD⊥PD，
∵PD2=PE?PF，
∴（ ）2=PE?6，
∴PE=2，∴EF=4，∴OE=OF=OD=2，
∴DE=2，Rt△DEF中，DE=2，EF=4，
∴∠DFE=30°.
答案：30°
22．如图，已知AB∥CD∥EF， AB=a,CD=b(0
【解析】如图，过点F作FH∥EC，分别交BA、DC的延长线于点G、H，由EF∥AB∥CD及FH∥EC，知AG=CH=EF，FG=AE，FH=EC.从而FG∶FH=AE∶EC=m∶n.
由BG∥DH，知BG∶DH=FG∶FH=m∶n.
设EF=x,则得(x+a)∶（x+b)=m∶n.
23．已知：△ABC是⊙O的外切三角形，切点为D，E，F.若BC=14 cm,AC=9 cm,AB=13 cm,则AF=_______ cm,BD=________ cm,CE=_____ cm.
【解析】如图，
设AF=x cm,BD=y cm,CE=z cm,由圆的切线长定理知，AE=x cm,BF=y cm,CD=z cm.
解得x=4,y=9,z=5.
即AF，BD，CE的长分别为4 cm,9 cm,5 cm.
答案：4 9 5
24．如图,AB是⊙O的直径,CB切⊙O于点B,CD切⊙O于点D,交BA延长线于点E,若ED= ,∠ADE=30°,则△BDC的外接圆的直径为___.
【解析】连接OD,∠ODB=∠OBD=∠ADE=30°,
∴∠AOD=∠ODB+∠OBD=60°.
∴△AOD是正三角形,
又O、B、C、D四点共圆,
∴∠C=∠AOD=60°.
从而∠E=∠OAD-∠ADE=30°,
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