仙游一中2015-2016学年度上学期期中考 高三理科数学试题 满分150分,答卷时间120分钟一：选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.选项填在答题卷上。1.若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则 （ ）A、 B、 C、 D、2．下列命题错误的是 ( )A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．若为假命题，则、均为假命题 C．命题：存在,使得，则：任意,都有 D．“”是“”的充分不必要条件3. 下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是 A． B． C． D．4. 设函数，其中是非零向量，则 “函数的图像是一条直线”的充分条件是( ) A．B． C． D． 5.在中，是以－4为第3项，4为第5项的等差数列的公差，是以为第3 项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形是（ ） A. 锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形6．（）的图象如右图所示，为了得到的图像，可以将的图像（ ）A．个单位长度 B．个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度7. 以下命题：①若则； 在方向上的投影为；若△中, 则；若量的夹角为钝角.则其中真命题的个数是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 18.已知数列是等差数列,若它的前n项和有最大值,且,则使成立的最大自然数n的值为( ) A. 10 B. 19 C. 20 D. 219. 已知函数当时，若在区间内，函数，有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 10.直线与函数的图像相切于点，且，为坐标原点，为图像的极大值点，与轴交于点，过切点作轴的垂线，垂足为，则=（ ）A. 2 B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卷上。11．已知n{－1,0,1,2,3}，若(－)>(－)，则n＝__________.是公差不为0的等差数列, ，且成等比数列,则的值为 .13. 已知，设，则由函数的图象与 轴、直线所围成的封闭图形的面积为 . 14. 定义在R上的函数满足：，且对于任意的,都有＜，则不等式＞的解集为 。15. 设，其中.若对一切恒成立，则; ② ；③ 既不是奇函数也不是偶函数；④ 的单调递增区间是；⑤ 存在经过点的直线与函数的图象不相交．以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）的前n项和（1）求数列的通项公式; （2）求数列的前项和.17、（本小题满分13分）满足，对任意都有，且．（1）求函数的解析式；（2）是否存在实数，使函数在上为减函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．18.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，角，的始边为轴的非负半轴，点在角的终边上，点在角的终边上，且. （1）求； （2）求的坐标并求的值. 19.（本小题满分1分）(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；(2)因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．20．（本小题满分1分）已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.（）求实数的值； （）求在区间上的最大值；（）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由. 有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．（1）(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换有一个属于特征值的特征向量，①求矩阵；②已知矩阵，点，，，求在矩阵的对应变换作用下所得到的的面积．(2) (本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程 过P（2，0）作倾斜角为的直线与曲线E：（θ为参数）交于A，B两点．的参数方程；（Ⅱ）求的取值范围．已知正实数、、满足条件，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求的最大值．仙游一中2015-2016学年度上学期期中考高三理科数学试题参考答案 满分150分,答卷时间120分钟一：选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.选项填在答题卷上。1.若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则 （ A ）A、 B、 C、 D、2．下列命题错误的是 ( B )A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．若为假命题，则、均为假命题 C．命题：存在,使得，则：任意,都有 D．“”是“”的充分不必要条件3. 下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是 A． B． C． D．4. 设函数，其中是非零向量，则 “函数的图像是一条直线”的充分条件是( C ) A．B． C． D． 5.在中，是以－4为第3项，4为第5项的等差数列的公差，是以为第3 项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形是（ A ） A. 锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形6．（）的图象如右图所示，为了得到的图像，可以将的图像（ C ）A．个单位长度 B．个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度7. 以下命题：①若则； 在方向上的投影为；若△中, 则；若量的夹角为钝角.则其中真命题的个数是( C ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 18.已知数列是等差数列,若它的前n项和有最大值,且,则使成立的最大自然数n的值为( B ) A. 10 B. 19 C. 20 D. 219. 已知函数当时，若在区间内，函数，有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ A ）A. B. C. D. 10.直线与函数的图像相切于点，且，为坐标原点，为图像的极大值点，与轴交于点，过切点作轴的垂线，垂足为，则=（ D ）A. 2 B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卷上。11．已知n{－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，则n＝__________.－1或2是公差不为0的等差数列, ，且成等比数列,则的值为 .413. 已知，设，则由函数的图象与 轴、直线所围成的封闭图形的面积为 . 14. 定义在R上的函数满足：，且对于任意的,都有＜，则不等式＞的解集为 （0,2） 。15. 设，其中.若对一切恒成立，则; ② ；③ 既不是奇函数也不是偶函数；④ 的单调递增区间是；⑤ 存在经过点的直线与函数的图象不相交．以上结论正确的是________②③__________（写出所有正确结论的编号）的前n项和（1）求数列的通项公式; （2）求数列的前项和.16.解：(1)又当时 ∴， ∴数列是等比数列,其首项为1,公比为 ，∴………………….6分（2）=，∴…………….13分17、（本小题满分13分）满足，对任意都有，且．（1）求函数的解析式；（2）是否存在实数，使函数在上为减函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 17、解：（1）由及 ∴ ………………1分又对任意，有∴图像的对称轴为直线，则，∴ ………………3分又对任意都有，即对任意成立，∴，故 ………………6分∴ ………………7分（2）由（1）知 ，其定义域为……………8分令要使函数在上为减函数，只需函数在上为增函数， ………………10分由指数函数的单调性，有，解得 ………………12分故存在实数时，函数在上为减函数………………13分18.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，角，的始边为轴的非负半轴，点在角的终边上，点在角的终边上，且. （1）求； （2）求的坐标并求的值.【解析】（1） ， ， ………… ∴ ， . …………6分 （2）由（1）得：， …………7分 ,∴ …………8分 ∴ ，， ，，，，………… ∴ …………13分 19.（本小题满分1分）(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；(2)因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．19、解：(1)因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC＋∠ADC＝180°，连接AC，由余弦定理：AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC＝42＋22－2×2×4cos∠ADC.所以cos∠ABC＝，∵∠ABC∈(0，π)，故∠ABC＝60°.S四边形ABCD＝×4×6×sin60°＋×2×4×sin120°＝8(万平方米)．…………………………………………3分在△ABC中，由余弦定理：AC2＝AB2＋BC2－2AB?BC?cos∠ABC∴R＝(万米)……………………7分(2)∵S四边形APCD＝S△ADC＋S△APC，又S△ADC＝AD?CD?sin120°＝2，设AP＝x，CP＝y.则S△APC＝xy?sin60°＝xy. ……………………………9分又由余弦定理AC2＝x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝28.∴x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy.∴xy≤28，当且仅当x＝y时取等号……………………11分∴S四边形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9，∴最大面积为9万平方米．………………………………13分20．（本小题满分1分）已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.（）求实数的值； （）求在区间上的最大值；（）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q福建省仙游一中2015-2016学年度高三上学期期中考试数学（理）试题
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