深圳高级中学2014届高三第一次月考试题
数 学（文科）
2015。09
一．：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集 ，集合 ， ，则集合
A． B． C． D．
2．如果函数 上单调递减，则实数 满足的条件是（ ）
A. B． C． D．
3．设 为等比数列 的前 项和，已知 ， ，则公比 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.在△ 中，若 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 设 ，且 ，则 （ ）
A. B.10 C.20 D.100
6．已知函数 ，下面结论错误的是
A．函数 的最小正周期为 B．函数 是偶函数
C．函数 的图象关于直线 对称 D．函数 在区间 上是增函数
7．直线 与圆 的位置关系是 （ ）
A.相离 B .相切 C.相交 D.不确定
8. 给出如下三个命题：
①若“ 且 ”为假命题，则 、 均为假命题；
②命题“若 且 ，则 ”的否命题为“若 且 ，则 ”；
③在 中，“ ”是“ ”的充要条件。其中不正确的命题的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
9.设直线 与函数 的图像分别交于点 ，则当 达到最小时 的值为
（ ）
A．1 B． C． D．
10．定义：若函数 的图像经过变换 后所得图像对应函数的值域与 的值域相同，则称变换 是 的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换 ，其中 不属于 的同值变换的是
A． ， 将函数 的图像关于 轴对称
B． ， 将函数 的图像关于 轴对称
C． ， 将函数 的图像关于点 对称
D． ， 将函数 的图像关于点 对称
二、题：本大题共4小题，每小题5分，
11.若数列 的通项公式是 ,则 .
12．若方程 在 内恰有一解,则实数 的取值范围是 .
13．已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点相同，则双曲线的方程为　　　　　．
14.函数 是常数， 的部分图象如图所示，则

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分12分）已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若 ,求 的值.

16. （本小题满分13分）在 中， 分别为角 的对边，
已知 ， ，且 .
(1) 求角 ；(2) 若 ， 的面积 ，求边 的值.

17. （本小题满分13分）如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A。
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。

18. （本小题满分14分）设数列 ， 满足 ，且数列 是等差数列，数列 是等比数列。
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）是否存在 ，使 ，若存在，求出 ，若不存在，说明理由。

19. （本小题满分14分）设 .
（1）如果 在 处取得最小值 ，求 的解析式；
（2）如果 ， 的单调递减区间的长度是正整数，试求 和
的值．(注：区间 的长度为 ）
.20．（本小题满分14分）设 ,函数 .
（1）讨论函数 的单调区间和极值;
（2）已知 和 是函数 的两个不同的零点,求 的值并证明: .

2014届高三第一次月考试题
数 学（文科）答案
2015。09
一．：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集 ，集合 ， ，则集合
A． B． C． D．
2．如果函数 上单调递减，则实数 满足的条件是（ ）
A. B． C． D．
3．设 为等比数列 的前 项和，已知 ， ，则公比 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.在△ 中，若 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 设 ，且 ，则 （ ）
A. B.10 C.20 D.100
6．已知函数 ，下面结论错误的是
A．函数 的最小正周期为 B．函数 是偶函数
C．函数 的图象关于直线 对称 D．函数 在区间 上是增函数
7．直线 与圆 的位置关系是 （ ）
A.相离 B .相切 C.相交 D.不确定
8. 给出如下三个命题：
①若“ 且 ”为假命题，则 、 均为假命题；
②命题“若 且 ，则 ”的否命题为“若 且 ，则 ”；
③在 中，“ ”是“ ”的充要条件。其中不正确的命题的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
9.设直线 与函数 的图像分别交于点 ，则当 达到最小时 的值为
（ ）
A．1 B． C． D．
10．定义：若函数 的图像经过变换 后所得图像对应函数的值域与 的值域相同，则称变换 是 的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换 ，其中 不属于 的同值变换的是
A． ， 将函数 的图像关于 轴对称
B． ， 将函数 的图像关于 轴对称
C． ， 将函数 的图像关于点 对称
D． ， 将函数 的图像关于点 对称
二、题：本大题共4小题，每小题5分，
11.若数列 的通项公式是 ,则 .
12．若方程 在 内恰有一解,则实数 的取值范围是 . .
13．已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点相同，则双曲线的方程为　　　　　．【解】 ．
14.函数 是常数， 的部分图象如图所示，则
答案： 新 课 标 第 一 网
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分12分）已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若 ,求 的值.
解： (1)由已知,f(x)=
所以f(x)的最小正周期为2 ,值域为
(2)由(1)知,f( )= 所以cos( ).
所以
16. （本小题满分13分）在 中， 分别为角 的对边，
已知 ， ，且 .
(1) 求角 ；(2) 若 ， 的面积 ，求边 的值.
16. 解：(1) 依题知得 即 ……3分
也就是 ，又 ，所以 ………………………6分
(2) ，且 ，所以 ……………8分
又 得 .

17. （本小题满分13分）如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A。
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。
17．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，
考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。
解：（I）由 ，（*）
因为直线 与抛物线C相切，所以 解得b=-1。
（II）由（I）可知 ，
解得x=2，代入 故点A（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，即
所以圆A的方程为

18. （本小题满分14分）设数列 ， 满足 ，且数列 是等差数列，数列 是等比数列。
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）是否存在 ，使 ，若存在，求出 ，若不存在，说明理由。
解：（1）由题意得：
＝ ； …3分
由已知 得公比 ，
…6分
（2） ，
∴当 时， 是增函数。 又 ， 所以当 时 ，
又 ，所以不存在 ，使 。
19. （本小题满分14分）设 .
（1）如果 在 处取得最小值 ，求 的解析式；
（2）如果 ， 的单调递减区间的长度是正整数，试求 和
的值．(注：区间 的长度为 ）
.解：（1）已知 ，
又 在 处取极值，
则 ，又在 处取最小值-5.
则 ，
（2）要使 单调递减，则
又递减区间长度是正整数，所以 两根设做a，b。即有：
b-a为区间长度。又
又b-a为正整数，且+n<10,所以=2，n=3或， 符合。

20．（本小题满分14分）设 ,函数 .
（1）讨论函数 的单调区间和极值;
（2）已知 和 是函数 的两个不同的零点,求 的值并证明: .
20．（本题满分14分）
解：在区间 上, . ……………………2分
①若 ,则 , 是区间 上的增函数,无极值； ………………4分
②若 ,令 得: .
在区间 上, ,函数 是增函数;
在区间 上, ,函数 是减函数;
在区间 上, 的极大值为 .
综上所述，①当 时, 的递增区间 ,无极值； …………………7分
③当 时， 的是递增区间 ，递减区间是 ，
函数 的极大值为 . …………………9分
(2) ∴ ，解得: . …………………10分
∴ . …………………11分
又 , , ……13分
由(1)函数 在 递减,故函数 在区间 有唯一零点,
因此 . ………………14分

深圳市高级中学2015届第一次月考
数学（理）试题
注：请将答案填在答题卷相应的位置上
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 已知全集 ，集合 ,则
A. B. C. D.
2. 如果函数 上单调递减，则实数 满足的条件是
A． B． C． D．
3. 下列函数中，满足 的是
A． B． C． D．
4. 已知函数 ，下面结论错误的是
A．函数 的最小正周期为 B．函数 是偶函数
C．函数 的图象关于直线 对称 D．函数 在区间 上是增函数
5. 给出如下四个命题：
①若“ 且 ”为假命题，则 、 均为假命题；
②命题“若 且 ，则 ”的否命题为“若 且 ，则 ”；
③在 中，“ ”是“ ”的充要条件。
④命题 “ ”是真命题. 其中正确的命题的个数是
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 定义行列式运算a1　a2a3　a4＝a1a4－a2a3；将函数f(x)＝3 　sin x1　　cos x的图象向左平移n(n>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为(　　)
A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3
7. 函数 的一段图象是

8. 设函数 其中 表示不超过 的最大整数，如 =-2， =1， =1，若直线y= 与函数y= 的图象恰有三个不同的交点，则 的取值范围是
A． B． C． D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9. 已知函数 ，则 .
10. 已知 ，则 _____________.
11. 曲线 所围成的封闭图形的面积为 ．
12. 已知函数 若命题“ ”为真，则的取值范围是___.
13. 设 ，且 ，则 _________.
14. 若关于 的方程 有四个不同的实数解，则实数k的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15．（本小题满分12分）
已知函数
（I）求函数 的最小正周期；
（II）确定函数 在 上的单调性并求在此区间上 的最小值.

16．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝Asinπ3x＋φ，x∈R，A＞0，0＜φ＜π2，y＝f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．

(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；
(2)若点R的坐标为(1，0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．
17. （本小题满分14分）
已知等比数列 中， ， ， ．
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)设 ，求 的最大值及相应的 值．
18. （本小题满分14分）
设二次函数 满足条件：（1） ；（2）函数在
轴上的截距为1，且 .
(1)求 的解析式;
(2)若 的最小值为 ,请写出 的表达式;
(3)若不等式 在 时恒成立,求实数 的取值范围.

19.（本题满分14分）
已知函数 的图象如图，直线 在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.
（1）求 的解析式
（2）若常数 ，求函数 在区间 上的最大值.
20．（本小题满分14分）
已知函数 ， .
(Ⅰ)若 ，求函数 在区间 上的最值；
(Ⅱ)若 恒成立，求 的取值范围. 注： 是自然对数的底数

深圳市高级中学2015届第一次月考
数学（理）试题 答案
注：请将答案填在答题卷相应的位置上
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 已知全集 ，集合 ， 则 C
A. B. C. D.
2. 如果函数 上单调递减，则实数 满足的条件是（ A ）
A． B． C． D．
3. 下列函数中，满足 的是C
A． B． C． D．
4. 已知函数 ，下面结论错误的是C
A．函数 的最小正周期为 B．函数 是偶函数
C．函数 的图象关于直线 对称 D．函数 在区间 上是增函数
5. 给出如下四个命题：
①若“ 且 ”为假命题，则 、 均为假命题；
②命题“若 且 ，则 ”的否命题为“若 且 ，则 ”；
③在 中，“ ”是“ ”的充要条件。
④命题 “ ”是真命题. 其中正确的命题的个数是( D )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 定义行列式运算a1　a2a3　a4＝a1a4－a2a3；将函数f(x)＝3 　sin x1　　cos x的图象向左平移n(n>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为( C)
A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3
7. 函数 的一段图象是B

8. 设函数 其中 表示不超过 的最大整数，如 =-2， =1， =1，若直线y= 与函数y= 的图象恰有三个不同的交点，则 的取值范围是 D
A． B． C． D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9. 已知函数 ，则 .
10. 已知 ，则 ____ _________.
11. 曲线 所围成的封闭图形的面积为 103 ．
12. 已知函数 若命题“ ”为真，则的取值范围是
________.（—∞，-2）
13. 设 ，且 ，则 _________
14. 若关于 的方程 有四个不同的实数解，则 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15．（本小题满分12分）
已知函数
（I）求函数 的最小正周期；
（II）确定函数 在 上的单调性并求在此区间上 的最小值.
15解 ，…………3分
则 的最小正周期是 ；……………4分
16．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝Asinπ3x＋φ，x∈R，A＞0，0＜φ＜π2，y＝f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．

(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；
(2)若点R的坐标为(1，0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．
解析：(1)由题意得T＝2ππ3＝6………………………….2分
因为P(1，A)在y＝Asinπ3x＋φ的图象上，所以sinπ3＋φ＝1.
又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6…………………………6分
(2)设点Q的坐标为(x0，－A)．

由题意可知π3x0＋π6＝3π2，得x0＝4，所以Q(4，－A)．-----------------------8分
连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝2π3，由余弦定理得
cos ∠PRQ＝RP2＋RQ2－PQ22RP•RQ＝A2＋9＋A2－（9＋4A2）2A•9＋A2＝－12，解得A2＝3.
又A＞0，所以A＝3.--------------------------------12分
17. （本小题满分14分）
已知等比数列 中， ， ， ．
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)设 ，求 的最大值及相应的 值．
1．解：(Ⅰ) ， ，所以： ． …（3分）
以 为首项．　　 ……………（5分）
所以 通项公式为： ．　 ……（7分）
(Ⅱ)设 ，则 ．　 　　…………………（8分）
所以 是首项为6，公差为 的等差数列．　　 ………………（10分）
= ．　…………（12分）
因为 是自然数，所以 或 时， 最大，其最值是 21． ……（14分）
18. （本小题满分14分）
设二次函数 满足条件：（1） ；（2）函数在
轴上的截距为1，且 .
(1)求 的解析式;
(2)若 的最小值为 ,请写出 的表达式;
(3)若不等式 在 时恒成立,求实数 的取值范围.
解: (1) …………………………4分
(2) ----------------10分
(3) -----------------14分
19.（本题满分14分）
已知函数 的图象如图，直线 在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.
(1) 求
（2）若常数 ，求函数 在区间 上的最大值.
解析：由f(0)＝0得c＝0，………………….2分
f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由f′(0)＝0得b＝0，………………………4分
∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，
由∫－a0[－f(x)]dx＝274得a＝－3.
∴f(x)＝x3－3x2………………………………8分
（2）由（1）知 .
的取值变化情况如下：
2

单调
递增极大值 单调
递减极小值 单调
递增
又 ,
①当 时, ；……………11分
②当 时,
综上可知 …………… …………14分
20．（本小题满分14分）
已知函数 ， .
(Ⅰ)若 ，求函数 在区间 上的最值；
(Ⅱ)若 恒成立，求 的取值范围.
注： 是自然对数的底数
. 解：(Ⅰ) 若 ，则 .
当 时， ，
，
所以函数 在 上单调递增；
当 时， ，
.
所以函数 在区间 上单调递减，
所以 在区间 上有最小值 ，又因为 ，
，而 ，
所以 在区间 上有最大值 ………………………………….5分
(Ⅱ) 函数 的定义域为 ．
由 ，得 ． （*）
（?）当 时， ， ，
不等式（*）恒成立，所以 ；……………………………………….7分
（?）当 时，
①当 时，由 得 ，即 ，
现令 ， 则 ，
因为 ，所以 ，故 在 上单调递增，
从而 的最小值为 ，因为 恒成立等价于 ，
所以 ；………………………………………………….11
②当 时， 的最小值为 ，而 ，显然不满足题意……….13分
综上可得，满足条件的 的取值范围是 . …………………………………14分

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