二次函数的基本性质
（1）二次函数的三种表示法：
y=ax2+bx+c；y=a（x－x1）（x－x2）；y=a（x－x0）2+n.
（2）当a＞0，f（x）在区间［p，q］上的最大值为M，最小值为m，令x0= （p+q）.
若－ ＜p，则f（p）=m，f（q）=M；
若p≤－ ＜x0，则f（－ ）=m，f（q）=M；
若x0≤－ ＜q，则f（p）=M，f（－ ）=m；
若－ ≥q，则f（p）=M，f（q）=m.
●点击双基
1.设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），如果f（x1）=f（x2）（其中x1≠x2），则f（ ）等于
A.－ B.－
C.cD.
解析：f（ ）=f（－ ）= .
答案：D
2.二次函数y=x2－2（a+b）x+c2+2ab的图象的顶点在x轴上，且a、b、c为△ABC的三边长，则△ABC为
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
解析：y=［x－（a+b）］2+c2+2ab－（a+b）2=［x－（a+b）］2+c2－a2－b2.
∴顶点为（a+b，c2－a2－b2）.
由题意知c2－a2－b2=0.
∴△ABC为直角三角形.
答案：B
3.已知函数f（x）=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f（1）的范围是
A.f（1）≥25B.f（1）=25
C.f（1）≤25D.f（1）＞25
解析：由y=f（x）的对称轴是x= ，可知f（x）在［ ，+∞）上递增，由题设只需 ≤－2 m≤－16，
∴f（1）=9－m≥25.
答案：A
4.函数f（x）=2x2－6x+1在区间［－1，1］上的最小值是___________，最大值是___________.
解析：f（x）=2（x－ ）2－ .
当x=1时，f（x）min=－3；当x=－1时，f（x）max=9.
答案：－39
5.（2003年春季上海）若函数y=x2+（a+2）x+3，x∈［a，b］的图象关于直线x=1对称，则b=__________.
解法一：二次函数y=x2+（a+2）x+3的图象关于直线x=1对称，说明二次函数的对称轴为1，即－ =1.∴a=－4.而f（x）是定义在［a，b］上的，即a、b关于x=1也是对称的，∴ =1.∴b=6.
解法二：∵二次函数y=x2+（a+2）x+3的对称轴为x=1，∴f（x）可表示为f（x）=（x－1）2+c，与原二次函数的表达式比较对应项系数，可得a+2=－2.∴a=－4，b的计算同解法一.
解法三：∵二次函数的对称轴为x=1，∴有f（x）=f（2－x），比较对应项系数，∴a=－4，b的计算同解法一.
答案：6
●典例剖析
【例1】设x、y是关于m的方程m2－2am+a+6=0的两个实根，则（x－1）2+（y－1）2的最小值是
A.－12 B.18C.8D.
剖析：由Δ=（－2a）2－4（a+6）≥0，得a≤－2或a≥3.
于是有（x－1）2+（y－1）2=x2+y2－2（x+y）+2=（x+y）2－2xy－2（x+y）+2=（2a）2－2（a+6）－4a+2=4a2－6a－10=4（a－ ）2－ .
由此可知，当a=3时，（x－1）2+（y－1）2取得最小值8.
答案：C
深化拓展
Δ≥0是二次方程有实根的隐含条件.
【例2】（2004年江苏，13）二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如下表：
x－3－2－101234
y60－4－6－6－406
则不等式ax2+bx+c＞0的解集是______________.
解析：由表知y=a（x+2）（x－3），又x=0，y=－6，代入知a=1.∴y=（x+2）（x－3）.
答案：{xx＞3或x＜－2}
【例3】已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象与直线y=25有公共点，且不等式ax2+bx+c＞0的解是－ ＜x＜ ，求a、b、c的取值范围.
解：依题意ax2+bx+c－25=0有解，故Δ=b2－4a（c－25）≥0.又不等式ax2+bx+c＞0的解是－ ＜x＜ ，∴a＜0且有－ =－ ， =－ .
∴b= a，c=－ a.∴b=－c，代入Δ≥0得c2+24c（c－25）≥0.
∴c≥24.故得a、b、c的取值范围为a≤－144，b≤－24，c≥24.
评述：二次方程ax2+bx+c=0，二次不等式ax2+bx+c＞0（或＜0）与二次函数y=ax2+bx+c的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题.
●闯关训练
夯实基础
1.下图所示为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，则｜OA｜?｜OB｜等于
A. B.－ C.± D.无法确定
解析：OA?OB=OA?OB=x1x2= =－ （∵a＜0，c＞0）.
答案：B
2.已知f（x）=x2－2x+3，在闭区间［0，m］上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是___________________.
解析：通过画二次函数图象知m∈［1，2］.
答案：［1，2］
3.已知函数y=（ex－a）2+（e－x－a）2（a∈R，且a≠0），求y的最小值.
解：y＝（ex＋e－x）2－2a（ex＋e－x）＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，则f（t）＝t2－2at＋2a2－2.
∵t＝ex＋e－x≥2，∴f（t）＝（t－a）2＋a2－2的定义域为［2，＋∞）.
∵抛物线的对称轴方程是t＝a，
∴当a≥2时，ymin＝f（a）＝a2－2；当a＜2且a≠0时，ymin＝f（2）＝2（a－1）2.
4.要使y=x2+4x（x≥a）有反函数，则a的最小值为___________________.
解析：要使y=x2+4x（x≥a）有反函数，则y=x2+4x在［a，+∞）上是单调函数.∴a≥－2.
答案：－2
5.已知函数f（x）=mx2+（m－3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围.
解：若m=0，则f（x）=－3x+1，显然满足要求.
若m≠0，有两种情况：
①原点的两侧各有一个，则 m＜0；
②都在原点右侧，则 解得0＜m≤1.
综上可得m∈（－∞，1］.
培养能力
6.设f（x）=x2－2ax+2.当x∈［－1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围.
解：（1）当a≤－1时，f（x）min=f（－1）=3+2a，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恒成立 f（x）min≥a，即3+2a≥a a≥－3.故此时－3≤a≤－1.
（2）当a＞－1时，f（x）min=f（a）=a2－2a2+2=2－a2，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恒成立 f（x）min≥a，即2－a2≥a a2+a－2≤0 －2≤a≤1.故此时－1＜a≤1.
由（1）（2）知，当－3≤a≤1时，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恒成立.
7.对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点.已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b－1（a≠0）.
（1）当a=1，b=－2时，求f（x）的不动点；
（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.
解：（1）当a=1，b=－2时，f（x）=x2－x－3=x x2－2x－3=0 （x－3）（x+1）=0 x=3或x=－1，∴f（x）的不动点为x=3或x=－1.
（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点 对任意实数b，ax2+（b+1）x+b－1=x恒有两个不等实根 对任意实数b，Δ=（b+1）2－4a（b－1）＞0恒成立 对任意实数b，b2+2（1－4a）b+1+4a＞0恒成立 Δ′=4（1－4a）2－4（1+4a）＜0 （1－4a）2－（1+4a）＜0 4a2－3a＜0 a（4a－3）＜0 0＜a＜ .
8.（2003年全国，文）设函数f（x）=x2+x－2－1，x∈R.
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）的最小值.
解：（1）f（x）= ∵f（0）=1≠0，
∴f（x）不是R上的奇函数.∵f（1）=1，f（－1）=3，f（1）≠f（－1），
∴f（x）不是偶函数.
故f（x）是非奇非偶的函数.
（2）当x≥2时，f（x）=x2+x－3，此时f（x）min=f（2）=3.
当x＜2时，f（x）=x2－x+1，此时f（x）min=f（ ）= .
总之，f（x）min= .
探究创新
9.二次函数f（x）=px2+qx+r中实数p、q、r满足 + + =0，其中m＞0，
求证：（1）pf（ ）＜0；
（2）方程f（x）=0在（0，1）内恒有解.
证明：（1）pf（ ）=p［p（ ）2+q（ ）+r］
=pm［ + + ］=pm［ － ］
=p2m［ ］=p2m［－ ］.
由于f（x）是二次函数，故p≠0.又m＞0，所以pf（ ）＜0.
（2）由题意，得f（0）=r，f（1）=p+q+r.
①当p＞0时，由（1）知f（ ）＜0.
若r＞0，则f（0）＞0，又f（ ）＜0，∴f（x）=0在（0， ）内有解；
若r≤0，则f（1）=p+q+r=p+（m+1）（－ － ）+r= － ＞0，
又f（ ）＜0，所以f（x）=0在（ ，1）内有解.
因此方程f（x）=0在（0，1）内恒有解.
②当p＜0时，同样可以证得结论.
评述：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数p≠0，若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改.
（2）对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的.本题的证明中，先对p分类，然后对r分类显然是比较好的.
●思悟小结
1.二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.
2.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.
●教师下载中心
点睛
1.二次函数是最重要的初等函数之一，因为很多问题可化归为二次函数来处理，所以必须熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用这些性质去解决问题.
2.求二次函数的解析式就是确定函数式f（x）=ax2+bx+c（a≠0）中a、b、c的值.二次函数也可以表示为y=a（x－x0）2+h或y=a（x－x1）（x－x2）（b2－4ac≥0）等形式，应提醒学生根据题设条件选用适当的表示形式，用待定系数法确定相应字母的值.
3.结合图象可以得到一系列与二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布有关的结论，时可引导学生总结：
（1）方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小 a?f（r）＜0.
（2）二次方程f（x）=0的两根都大于r
（3）二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根
（4）二次方程f（x）=0在区间（p，q）内只有一根 f（p）?f（q）＜0，或f（p）=0，另一根在（p，q）内或f（q）=0，另一根在（p，q）内.
（5）方程f（x）=0的两根中一根大于p，另一根小于q（p＜q）
4.二次函数与二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可方便直观地解决与不等式有关的问题.例如：
（1）二次不等式f（x）=ax2+bx+c≤0的解集是（－∞，α］∪［β，+∞） a＜0且f（α）=f（β）=0.
（2）当a＞0时，f（α）＜f（β） α+ ＜β+ ；
当a＜0时，f（α）＜f（β） α+ ＞β+ .
（3）当a＞0时，二次不等式f（x）＞0在［p，q］上恒成立
或 或
（4）f（x）＞0恒成立 或
f（x）＜0恒成立 或
拓展题例
【例1】已知当m∈R时，函数f（x）＝m（x2－1）＋x－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
解：（1）m=0时，f（x）=x－a是一次函数，它的图象恒与x轴相交，此时a∈R.
（2）m≠0时，由题意知，方程mx2＋x－（m＋a）＝0恒有实数解，其充要条件是Δ＝1＋4m（m＋a）＝4m2＋4am＋1≥0.又只需Δ′＝（4a）2－16≤0，解得－1≤a≤1，即a∈［－1，1］.
∴m＝0时，a∈R；m≠0时，a∈［－1，1］.
评述：g（a）是a的函数，可作出g（a）的草图来求最大值.
【例2】已知f（x）＝ax2＋bx＋c的图象过点（－1，0），是否存在常数a、b、c，使不等式x≤f（x）≤ 对一切实数x都成立？
解：∵f（x）的图象过点（－1，0），∴a－b+c=0①
∵x≤f（x）≤ 对一切x∈R均成立，
∴当x=1时也成立，即1≤a+b+c≤1.故有a＋b＋c＝1.②
由①②得b= ，c= －a.∴f（x）＝ax2＋ x＋ －a.
故x≤ax2＋ x＋ －a≤ 对一切x∈R成立，
也即 恒成立
解得a= .∴c= －a= .
∴存在一组常数a= ，b= ，c= ，使不等式x≤f（x）≤ 对一切实数x均成立.
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