专题七：思想方法专题
第二讲 数形结合思想
【思想方法诠释】
一、数形结合的思想
所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路 ，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．
数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．
二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：
1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；
2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；
3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；
4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
5．构建立体几何模型研究代数问题；
6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
7．构建方程模型，求根的个数；
8．研究图形的形状、位置关系、性质等。
三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：
1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；
2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。
四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：
1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；
2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；
3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；
4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。
【核 心要点突破】
要点考向1：利用数学概念或数学式的几何意义解题
例1：实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：
（1）点（a,b）对应的区域的面积；
（2） 的取值范围；
（3）(a-1)2+(b-2)2的值域．
思路精析：列出a,b满足的条件→画出点(a,b)对应的区域→求面积→根据 的几何意义求范围→根据(a-1)2+(b-2)2的几何意义求值域．
解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和（1，2）上的几何意义分别是：函数y=f(x)= x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，2）内，
由此可得不等式组
由 ，解得A（-3，1）．
由 ，解得C（-1，0）．
∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC（不包括边界）．
（1）△ABC的面积为 （h为A到Oa轴的距离）．
（2） 几何意义是点(a,b)和点D(1,2)边线的斜率．
由图可知
（3）∵(a-1)2+(b-2)2表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方，
注：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：
（1） 连线的斜率；
（2） 之间的距离；
（3） 为直角三角形的三边；
（4） 图象的对称轴为x= ．只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．
要点考向2：用数形结合求方程根的个数，解决与不等式有关的问题
例2：（1）已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时，f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是（ ）
(A)5 (B)7 (C)9 (D)10
(2)设有函数f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x∈[-4,0]时，恒有f(x)≤g(x)，求实数a的范围．
思路精析：（1）画出f(x)的图象→画出y=lgx的图象→数出交点个数．
（2）f(x)≤g(x)变形为 →画出 的图象→画出 的图象→寻找 成立的位置
解析：（1）选C．由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数．又f(x) =lgx，则x∈（0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．
（2）f(x)≤g(x)，即 ，变形得 ，令 …………①， ………………②
①变形得 ，即表示以（-2，0）为圆心，2为半径的圆的上半圆；
②表示斜率为 ，纵截距为1-a的平行直线系．设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为 ，则有tan = , ,
要使f(x)≤g(x)在x∈[-4,0]时恒成立，则②成立所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1-a≥6,∴a≤-5．
注：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．
（2）解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．
（3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．
要点考向2：数形结合在解析几何中的应用
例3：已知椭圆 的中心在原点，一个焦点 ，且长轴长与短轴长的比是 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若椭圆 在第一象限的一点 的横坐标为 ，过点 作倾斜角互补的两条不同的直线 ， 分别交椭圆 于另外两点 ， ，求证：直线 的斜率为定值；
（Ⅲ）求 面积的最大值．
解析：（ Ⅰ）设椭圆 的方程为 ．
由题意 ………………………………………………2分
解得 ， ．
所以椭圆 的方程为 ．………………………………………………4分
（Ⅱ）由题意知，两直线 ， 的斜率必存在，设 的斜率为 ，则 的直线方程为 .
由 得
.………………6分
设 ， ，则
，
同理可得 ，
则 ， .
所以直线 的斜率 为定值. ……………………………………8分
（Ⅲ）设 的直线方程为 .
由 得 .
由 ，得 .……………………………………10分
此时 ， .
到 的距离为 ，
则
.
因为 使判别式大于零，
所以当且仅当 时取等号，
所以 面积的最大值为 ．………………………………………………………13分
注：1．数形结合思想中一个非常重要的方面是以数辅形，通过方程等代数的方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效．
2．此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信息或结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程（组）或不等式（组），从而将问题解决．
要点考向2：数形结合在立体几何中的应用
例4：如图1,在直角梯形 中, , , , 为线段 的中点.将 沿 折起,使平面 平面 ,得到几何体 ,如图2所示.
(Ⅰ) 求证: 平面 ；
(Ⅱ) 求二面角 的余弦值.
解析:（Ⅰ）在图1中,可得 ,从而 ,故 .
取 中点 连结 ,则 ,又面 面 ,
面 面 , 面 ,从而 平面 . …………………4分
∴ ， 又 , .
∴ 平面 . ……………………… ………………………6分
（Ⅱ）建立空间直角坐标系 如图所示,则 , ,
, . ………………………………………………8分
设 为面 的法向量,
则 即 ,解得 .
令 ,可得 .
又 为面 的一个法向量，
∴ .
∴二面角 的余弦值为 .
注：1．应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置．其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算．
2．立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口．
【跟踪模拟训练】
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.方程lgx=sinx的根的个数( )
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
2．已知全集U=R，集合A={xx2-3x-10<0},B={xx>3},则右图中阴影部分表示的集合为( )
A．(3,5) B．(-2,+ ) C．(-2,5) D．(5,+ )
3．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={(x,y)x+y≤1,且x≥0,y≥0}，则平面区域B={(x+y,x-y)(x,y)∈A}的面积为（ ）
(A)2 (B)1 (C) (D)
4．函数 图象如图，则函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
5．不等式组 有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知f(x)是定义在（-3，3）上 的奇函数，当0
二、填空题（每小题6分，共18分）
7．复数(x-2)+yi，其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时， 的取值范围是
8.已知关于x的方程x2-4x+5=m有四个不相等的实根，则实数m的范围是_______.
9.设A={(x,y)x2+(y-1)2=1},B={(x,y)x+y+m≥0}，则使A?B成立的实数m的取值范围是______.
三、解答题（10、11题每题15分，12题16分，共46分）
10．如图，已知四棱锥 的底面是正方形， ⊥底面 ，且 ，点 、 分别 在侧棱 、 上，且
（Ⅰ）求证： ⊥平面 ；
（Ⅱ）若 ，求平面 与平面 的所成锐
二面角的大小
11．如图， ， 是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路，连接M、N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L1对称．M到L1、L2的距离分别是2 km、4km，N到L1、L2的距离分别是3 km、9 kin．
（1）建立适当的坐标系，求抛物线弧MN的方程；
（Ⅱ）该市拟在点0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求 厂址到点0的距离大于5km而不超过8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于 km．求 此厂离点0的最近距离．（注：工厂视为一个点）
12．已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.
(1)求f(x)在区间［t,t+1］上的最大值h(t);
(2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
参考答案
1．【解析】选C.在同一坐标系中作出y=lgx与y=sinx的图象，如图.其交点数为3.
2．答案：B
3．
作出不等式组表示的平面区域B，如图所示，根据图形可知该区域为等腰直角三角形，可求出面积 ，所以平面区域B的面积为1．
4．答案：D
5．答案：A
6．【解析】选B.根据对称性画出
f(x)在（-3,0）上的图象如
图，结合y=cosx在(-3,0),
(0,3)上函数值的正负,
易知不等式f(x)cosx<0的解集是
7．【解析】由题意知 ，设 ，则k为过圆(x-2)2+y2=1上的点及原点的直线斜率，作图如下：
又 由对称性，可得答案：
答案：
8．【解析】令f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1，其图象如图.
画直线y=m,由图象知当1
9．【解析】由于集合A，B都是点的集合,故可结合图形进行分析、求解.集合A是一个圆x2+(y-1)2=1上的点的集合,集合B是一个不等式x+y+m≥0表示的平面区域内的点的集合, 要使A B，则应使圆被平面区域所包含（如图 ），
即直线x+y+m=0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有
故m的取值范围是m≥ -1.
答案：m≥ -1
10．解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系 又
PA=AD=2，则有P（0，0，2），D（0，2，0）
……3分
（Ⅰ）
又 ……………7分
（Ⅱ）设 则有
同理可得 即得 ………………9分
由
而平面PAB的法向量可为
故所求平面AMN与PAB所成锐二面角的大小为 …………12分
11．解析：（1）分别以 、 为 轴、 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M（2，4），N（3，9）
设MN所在抛物线的方程为 ，则有
，解得
∴所求方程为 （2≤ ≤3）5分
（说明：若建系后直接射抛物线方程为 ，代入一个点坐标求对方程，本问扣2分）
（2）设抛物线弧上任意一点P（ ， ）（2≤ ≤3）
厂址为点A（0， ）（5＜t≤8 ，由题意得 ≥
∴ ≥07分
令 ，∵2≤ ≤3，∴4≤ ≤9
∴对于任意的 ，不等式 ≥0恒成立（*）8分
设 ，∵ ≤8
∴ ≤ .
要使（*）恒成立，需△≤0，即 ≤010分
解得 ≥ ，∴ 的最小值为
所以，该厂距离点O的最近距离为6.25km12分
12．【解析】（1）f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.
①当t+1<4即t<3时，f(x)在
［t,t+1］上单调递增(如图①).
h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)
=-t2+6t+7.
②当t≤4≤t+1即3≤t≤4时，f(x)的最大值为h(t)=f(4)=16(如图②)
③当t>4时，f(x)在［t,t+1］上单调递减（如图③），
h(t)=f(t)=-t2+8t.
(2)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.
∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m,
当x∈(0,1)时φ′(x)>0,φ(x)是增函数;
当x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数;
当x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;
当x=1或x=3时，φ′（x）=0.
∴φ(x)极大值=φ（1）=m-7,
φ(x)极小值=φ（3）=m+6ln3-15.
∵当x充分接近0时，φ（x）<0，
当x充分大时,φ(x)>0,
∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，
即7
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4.已知函数f(x)=x2+2x,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数根，则b，c的大小关系是( )
(A)b>c
(B)b≥c或b≤c中至少有一个正确
(C)b
【解析】选C.f(x)=x2+2x的图象如图.要使关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数根，则关于f(x)的一元二次方程f2(x)+bf(x)+c=0有两个不同的根.且一个根在（0,1）内，另一个根为1.
∴b
【解析】∵曲线y= 的定义域为［1,3］，且其图象为圆(x-2)2+y2=1的下半圆，如图所示，
则直线y=kx-1要与曲线有公共点，则直线只能处于l1,l2之间，且可与l1、l2重合，则k的取值范围是［0，1］.
答案：［0，1］
6.已知有向线段PQ的起点P与终点Q的坐标分别为P(-1,1)，
Q（2,2）.若直线l:x+my+m=0与有向线段PQ延长线相交，求实数m的取值范围.
8.集合A={x-1
(2)若A∪B={xx<1},求a的取值范围.
【解析】(1)如图所示：A={x-1
B={xx
∴a≤-1.
(2)如图所示：A={x-1
B={xx
∴-1
(1)证明AC⊥NB;
(2)若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.
【解析】如图，
建立空间直角坐标系M-xyz.令MN=1,则有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0).
(1)∵MN是l1、l2的公垂线，l1⊥l2,∴l2⊥平面ABN，
∴l2平行于z轴.故可设C(0,1,m).于是
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