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全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲
一、题
1 ．（普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若关于实数 的不等式 无解,则实数 的取值范围是_________
【答案】
2 ．（高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a, b, , n均为正数, 且a+b=1, n=2, 则(a+bn)(b+an)的最小值为_______.
【答案】2
3 ．（高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式 的解集为_________
【答案】
4 ．（高考湖北卷（理））设 ,且满足: , ,则 _______.
【答案】
二、解答题
5 ．（普通高等学校招生统一考试新课 标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））选 修4—5;不等式选 讲
设 均为正数,且 ,证明:
(Ⅰ) ; (Ⅱ) .
【答案】
6 ．（普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））选修4-5:不等式选讲
已知函数 ,其中 .
(I)当 时,求不等式 的解集;
(II)已知关于 的不等式 的解集为 ,求 的值.
【答案】
7 ．（普通高等学校招生统一考试福建 数学（理）试题（纯WORD版））不等式选讲:设不等式 的解集为 ,且 , .
(1)求 的值;
(2)求函数 的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)因为 ,且 ,所以 ,且
解得 , 又因为 ,所以
(Ⅱ)因为
当且仅当 ,即 时取得等号,所以 的最小值为
8 ．（普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯W ORD版含附加题））D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.
已知 >0,求证:
[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作 答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】D证明:∵
又∵ >0,∴ >0, ,
∴
∴
∴
9 ．（高考新课标1（理））选修4—5:不等式选讲
已知 函数 = , = .
(Ⅰ)当 =2时,求不等式 < 的解集;
(Ⅱ)设 >-1,且当 ∈[ , )时, ≤ ,求 的取值范围.
【答案】当 =-2时,不等式 < 化为 ,
设函数 = , = ,
其图像如图所示
从图像可知,当且仅当 时, <0,∴原不等式解集是 .
(Ⅱ)当 ∈[ , )时, = ,不等式 ≤ 化为 ,
∴ 对 ∈[ , )都成立,故 ,即 ≤ ,
∴ 的取值范围为(-1, ].
10．（高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xOy中,将从点 出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为到N的一条“L路径”.如图6所示的路径 都是到 N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点 处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.
(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);
(II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位 置,使其到三个居 民区的“L路径”长度值和最小.
【答案】解:
(Ⅰ) ,
,其中
(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.
点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距 离之和的最小值v.且h和v互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21; ,水平距离之和h=x ? (-10) + 14 ? x + x-3 ,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.
所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45.
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