数学Ⅰ
参考公式：样本数据 的方差 ，其中 ；
锥体的体积公式： ，其中 为锥体的底面面积， 是高．
一、题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1. 已知 是虚数单位，若 ，则 的值为 ▲ ．
2. 某射击选手连续射击 枪命中的环数分别为： , , , , ，
则这组数据的方差为 ▲ ．
3. 右图是一个算法流程图，则输出的 的值是 ▲ ．
4. 若集合 ， ，则 ▲ ．
5. 方程 表示双曲线的充要条件是 ▲ ．
6．在 中，已知 ， ，则 的值是 ▲ ．
7. 已知实数 满足 则 的最小值是 ▲ ．
8. 已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则数列 的前20项和为 ▲ ．
9. 已知三棱锥 的所有棱长都相等，现沿 ， ， 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 ，则三棱锥 的体积为 ▲ ．
10．已知 为 的外心，若 ，则 等于 ▲ ．
11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字 或 中的一个数字，则连续输出的 个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ．
12. 若 ，且 ，则 的最小值为 ▲ ．
13．已知函数 若 ，且 ，则 的取值范围是 ▲ ．
14. 已知曲线 ： ，直线 ： ，在曲线 上有一个动点 ，过点 分别作直线 和 轴的垂线，垂足分别为 .再过点 作曲线 的切线，分别与直线 和 轴相交于点 ， 是坐标原点.若 的面积为 ，则 的面积为 ▲ ．
二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图， ， 均为圆 的直径， 圆 所在的平面， .求证：
⑴平面 平面 ；
⑵直线 平面 ．
16．已知 的面积为 ，角 的对边分别为 ， ．
⑴求 的值；
⑵若 成等差数列，求 的值．
17．已知一块半径为 的残缺的半圆形材料 ，O为半圆的圆心， ，残缺部分位于过点 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以 为斜边；如图乙，直角顶点 在线段 上，且另一个顶点 在 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．
18．如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率 ， 分别是椭圆 的左、右两个顶点，圆 的半径为 ，过点 作圆 的切线，切点为 ，在 轴的上方交椭圆 于点 ．
⑴求直线 的方程；
⑵求 的值；
⑶设 为常数．过点 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆 于点 ，分别交圆 于点 ，记 和 的面积分别为 ， ，求 的最大值．
19．已知数列 满足： ， ， ．
⑴若 ，求数列 的通项公式；
⑵设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
20．已知函数 ， ．
⑴若函数 在其定义域内是单调增函数，求 的取值范围；
⑵设函数 的图象被点 分成的两部分为 （点 除外），该函数图象在点 处的切线为 ，且 分别完全位于直线 的两侧，试求所有满足条件的 的值．
徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试
数学Ⅱ（附加题）
21.【选做题】本大题包括A、B、C、D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，已知圆 ，圆 都经过点 ， 是圆 的切线，圆 交 于点 ，连结 并延长交圆 于点 ，连结 .求证 .
B．选修4-2：矩阵与变换
已知 ，若矩阵 所对应的变换把直线 ： 变换为自身，求 .
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知直线 被圆 截得的弦长为 ，求 的值.
D．选修4-5：不等式选讲
已知 ，且 ，求 的最小值
22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
如图，在正三棱柱 中，已知 ， ， 分别是棱 ， 上的点，且 ， .
⑴求异面直线 与 所成角的余弦值；
⑵求二面角 的正弦值.
23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知函数 , ．
⑴当 时，求函数 的极大值和极小值；
⑵是否存在等差数列 ，使得 对一切 都成立？并说明理由．
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数学参考答案与评分标准
一、题
1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7.1；
8.55； 9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. ； 14.
二、解答题
15.⑴因为 圆 所在的平面， 圆 所在的平面，
所以 ，………………………………………………………………………………2分
因为 为圆 的直径，点 在圆 上，所以 ， ……………………………3分
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，………………………………………………………………………5分
因为 平面 ，所以平面 平面 ．…………………………………7分
⑵由⑴ ，又因为 为圆 的直径，
所以 ，
因为 在同一平面内，所以 ，…………………………………………9分
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．………………………11分
因为 ，同理可证 平面 ，
因为 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ．……………………………………………14分
16.⑴由 ，得 ，即 ．……………2分
代入 ，化简整理得， ．……………………………………4分
由 ，知 ，所以 ．………………………………………6分
⑵由 及正弦定理，得 ，
即 ，………………………………………………………………8分
所以 ．①
由 及 ，得 ，……………………………………………10分
代入①，整理得 ．
代入 ，整理得 ，……………………………12分
解得 或 ．
因为 ，所以 ．…………………………………………………………14分
17．如图甲，设 ， ………2分
所以 ………………………………………………………………………4分
，
当且仅当 时取等号， …………………………………………………6分
此时点 到 的距离为 ，可以保证点 在半圆形材料 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为 ． …………………………………………………7分
如图乙，设 ，则 ， ，
所以 ， ． …………………………………10分
设 ，则 ，
当 时， ，所以 时，即点 与点 重合时，
的面积最大值为 ． ………………………………………………………13分
因为 ，
所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为 ．…………14分
18．⑴连结 ，则 ，且 ，
又 ，所以 .
所以 ，所以直线 的方程为 .……………………………………3分
⑵由⑴知，直线 的方程为 ， 的方程为 ，
联立解得 . ………………………………………………………………………5分
因为 ，即 ，所以 ， ，故椭圆 的方程为 .
由 解得 ，…………………………………………………………7分
所以 ． ………………………………………………………………8分
⑶不妨设 的方程为 ，
联立方程组 解得 ，
所以 ；……………………………………………………………………10分
用 代替上面的 ，得 ．
同理可得， ， ．…………………………………………13分
所以 ．………………………14分
因为 ，
当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为 ．………………………………16分
19．⑴若 时， ， ，所以 ，且 ．
两边取对数，得 ，……………………………………………………2分
化为 ，
因为 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．……………………4分
所以 ，所以 ．………………………………………6分
⑵由 ，得 ，①
当 时， ，②
① ②，得 ，…………………………………………8分
由已知 ，所以 与 同号．…………………………………………10分
因为 ，且 ，所以 恒成立，
所以 ，所以 ．………………………………………………………12分
因为 ，所以 ，
所以
．…………………………………………………………16分
20．⑴ ，………………………………………2分
只需要 ，即 ，
所以 ．…………………………………………………………………………………4分
⑵因为 ．
所以切线 的方程为 ．
令 ，则 ．
．………………………………………6分
若 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 ， 在直线 同侧，不合题意；…………………………………8分
若 ， ，
若 ， ， 是单调增函数，
当 时， ；当 时， ，符合题意；…10分
若 ，当 时， ， ，
当 时， ， ，不合题意； …………………………12分
若 ，当 时， ， ，
当 时， ， ，不合题意； ……………………………14分
若 ，当 时， ， ，
当 时， ， ，不合题意．
故只有 符合题意． ………………………………………………………………16分
附加题
21．
A．由已知， ，因为 ，
， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 .……………………………………………5分
延长 交 于点 ，连结 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，所以 ∽ ，
所以 ，所以 ，因为 ，
所以 .…………………………………………………………………10分
B．对于直线 上任意一点 ，在矩阵 对应的变换作用下变换成点 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ………………………………………4分
所以 解得
所以 ， …………………………………………………………………………7分
所以 . ………………………………………………………………10分
C．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 ， …………………………3分
圆的极坐标方程化为直角坐标方程为 ，即 ，…………6分
因为截得的弦长为 ，所以圆心 到直线的距离为 ，
即 ，因为 ，所以 . ………………………………………10分
D．由柯西不等式，得 ，
即 ， ……………………………………………………5分
即 .
所以 ，即 的最小值为 . …………………………………10分
22．⑴以 的中点为原点 ，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 （如图）. 则 ， ， ， ， ， ， ， .
所以 ， .
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .…………………………………………5分
⑵平面 的一个法向量为 .
设平面 的法向量为 ，因为 ， ，
由 得 令 ，则 .
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 . ……………………………………………10分
23．（1） = ，
= ，
令 得 ，
因为 ，所以 ．…………………………………………………2分
当 为偶数时 的增减性如下表：
无极值
极大值
极小值
所以当 时， ；当 时， ．………4分
当 为奇数时 的增减性如下表：
极大值
极小值
无极值
所以 时， ；当 时， ．…………6分
（2）假设存在等差数列 使 成立，
由组合数的性质 ，
把等式变为 ，
两式相加，因为 是等差数列，所以 ，
故 ，
所以 ． …………………………………………………………………8分
再分别令 ，得 且 ，
进一步可得满足题设的等差数列 的通项公式为 ．………10分
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