数 学 试 卷（理科）
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
（1）已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
（2）已知命题 ， ，那么下列结论正确的是
A. 命题 B．命题
C．命题 D．命题
(3)圆 的圆心到直线 （ 为参数）的距离为
A. B.1 C. D.
(4)设 与抛物线 的准线围成的三角形区域（包含边界）为 ， 为 内的一个动点，则目标函数 的最大值为
A. B. C. D.
(5) 在区间 上随机取一个数 ，则事件“ ”发生的概率为
A. B. C. D.
(6) 已知四棱锥 的三视图如图所示，
则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是
（7）如图，在边长为2的菱形
中， ， 为 的中点，
则 的值为
A．1 B． C． D．
(8)设等比数列 的公比为 ，其前 项的积为 ，并且满足条件 ， ， .给出下列结论：
① ； ② ；
③ 的值是 中最大的；④ 使 成立的最大自然数 等于198.
其中正确的结论是
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
一、题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）二项式 的展开式中 的系数为___________.
（10）双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 .
（11） 如图， 切圆 于点 , 为圆 的直径，
交圆 于点 ， 为 的中点，且
则 __________；
__________.
（12）执行如图所示的程序框图，
若①是 时，输出的 值为 ；
若①是 时，输出的 值为 .
（13）已知函数
若关于 的方程 有两个不同的实根，则实数 的取值范围是 .
（14）曲线 是平面内到直线 和直线 的距离之积等于常数 的点的轨迹.给出下列四个结论：
①曲线 过点 ；
②曲线 关于点 对称；
③若点 在曲线 上，点 分别在直线 上，则 不小于
④设 为曲线 上任意一点，则点 关于直线 、点 及直线 对称的点分别为 、 、 ，则四边形 的面积为定值 .
其中，所有正确结论的序号是 .
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（15）（本小题满分13分）
已知函数 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 的最小正周期及单调递增区间.
（16）（本小题满分14分）
如图,在四棱锥 中,底面 是边长为 的正方形,
侧面 底面 ，且 ,
、 分别为 、 的中点．
(Ⅰ) 求证： //平面 ；
(Ⅱ) 求证：面 平面 ；
(Ⅲ) 在线段 上是否存在点 使得
二面角 的余弦值为 ？说明理由.
（17）（本小题满分13分）
某市为了提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，对市民进行了“生活满意”度的调查．现随机抽取40位市民，对他们的生活满意指数进行统计分析，得到如下分布表：
满意级别 非常满意 满意 一般 不满意
满意指数（分） 90 60 30 0
人数（个） 15 17 6 2
（I）求这40位市民满意指数的平均值；
（II）以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数，若从全市市民（人数很多）中任选3人，记 表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数．求 的分布列；
（III）从这40位市民中，先随机选一个人，记他的满意指数为 ，然后再随机选另一个人，记他的满意指数为 ，求 的概率．
（18）（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）若 求 在 处的切线方程；
（Ⅱ）求 在区间 上的最小值；
（III）若 在区间 上恰有两个零点，求 的取值范围.
（19）（本小题满分13分）
如图，已知椭圆 的长轴为 ，过点 的直线 与 轴垂直，椭圆的离心率 ， 为椭圆的左焦点，且 .
（I）求此椭圆的方程；
（II）设 是此椭圆上异于 的任意一点， 轴， 为垂足，延长 到点 使得 . 连接 并延长交直线 于点 为 的中点，判定直线 与以 为直径的圆 的位置关系．
（20）（本小题满分14分）
设数列 对任意 都有 (其中 、 、 是常数) ．
（I）当 ， ， 时，求 ；
（II）当 ， ， 时，若 ， ，求数列 的通项公式；
（III）若数列 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当 ， ， 时，设 是数列 的前 项和， ，试问：是否存在这样的“封闭数列” ，使得对任意 ，都有 ，且 ．若存在，求数列 的首项 的所有取值；若不存在，说明理由．
昌平区2014－2013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测
数 学 试卷 参考答案（理科）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
题 号 （1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
答案 C B A D CC A B
二、题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
（9） （10）
（11） ； （12） ；
（13） （14） ②③④
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（15）(本小题满分13分)
解：（Ⅰ） ..4分
..6分
（Ⅱ） 的最小正周期 .…………………………8分
又由 可得
函数 的单调递增区间为 .………13分
（16）(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明：连结 ，
为正方形， 为 中点，
为 中点.
∴在 中， // ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分
且 平面 ， 平面 ∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
(Ⅱ)证明：因为平面 平面 ， 平面 面
为正方形， ， 平面
所以 平面 .
∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
又 ，所以 是等腰直角三角形，
且 即
，且 、 面
面
又 面 ，
∴面 面 .…………..9分
(Ⅲ) 如图,取 的中点 , 连结 , .
∵ , ∴ .
∵侧面 底面 ,
,
∴ ,
而 分别为 的中点,∴ ,
又 是正方形,故 .
∵ ,∴ , .
以 为原点,直线 分别为 轴建立空间直角坐标系,
则有 , , , .
若在 上存在点 使得二面角 的余弦值为 ，连结
设 .
由(Ⅱ)知平面 的法向量为 .
设平面 的法向量为 .∵ ,
∴由 可得 ,令 ,则 ,
故 ∴ ,
解得， .
所以，在线段 上存在点 ,使得二面角 的余弦值为 .
.．．．．．．．．．．．．．14分
（17）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）记 表示这40位市民满意指数的平均值，则
（分）…………………2分
（Ⅱ） 的可能取值为0、1、2、3.
的分布列为
12
……………8分
（Ⅲ）设所有满足条件 的事件为
①满足 的事件数为：
②满足 的事件数为：
③满足 的事件数为：
所以满足条件 的事件的概率为 .……………………13分
（18）（本小题满分13分）
解：（I）
在 处的切线方程为 ………………………..3分
（Ⅱ）由
由 及定义域为 ，令
①若 在 上， ， 在 上单调递增，
因此, 在区间 的最小值为 .
②若 在 上， ， 单调递减；在 上， ， 单调递增，因此 在区间 上的最小值为
③若 在 上， ， 在 上单调递减，
因此, 在区间 上的最小值为 .
综上，当 时， ；当 时， ；
当 时， . ……………………………….9分
(III) 由（II）可知当 或 时， 在 上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.
当 时，要使 在区间 上恰有两个零点，则
∴ 即 ，此时， .
所以， 的取值范围为 …………………………………………………………..13分
（19）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意可知， , ， ，
又 ， ，解得
所求椭圆方程为 …………………………5分
（Ⅱ）设 ，则
由
所以直线 方程
由 得直线
由
又点 的坐标满足椭圆方程得到： ，
所以
直线 的方程：
化简整理得到： 即
所以点 到直线 的距离
直线 与 为直径的圆 相切.……………………………………. 13分
（20）（本小题满分14分）
解：（I）当 ， ， 时，
， ①
用 去代 得， ， ②
②?①得， ， ，……………………………2分
在①中令 得， ，则 0，∴ ，
∴数列 是以首项为1，公比为3的等比数列，
∴ = ………………………………………………….4分
（II）当 ， ， 时， ， ③
用 去代 得， ， ④
④?③得， ， ⑤.
用 去代 得， ， ⑥
⑥?⑤得， ，即 ，.
∴数列 是等差数列.∵ ， ，
∴公差 ，∴ …………………………………………9分
（III）由（II）知数列 是等差数列，∵ ，∴ .
又 是“封闭数列”，得：对任意 ，必存在 使
，
得 ，故 是偶数，10分
又由已知， ，故 .一方面，当 时， ，对任意 ，都有 .
另一方面，当 时， ， ，
则 ，
取 ，则 ，不合题意.
当 时， ， ，则
，
当 时， ， ，
，
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