2012版高三数学一轮精品复习学案：第八章 解析几何
8.3圆锥曲线
【高考目标导航】
一、曲线与方程
1．考纲点击
(1)了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系;
(2)了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法;
(3)能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
2．热点提示
（1）求轨迹方程是高考的重点和热点；
（2）常以解答题的第一问的形式出现. 一般用直接法、定义法或相关点法求解，所求轨迹一般为圆锥曲线，属中低档题。
二、椭圆
1．考纲点击
（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；
（2）了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用。
（3）理解数形结合的思想
2．热点提示
（1）椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点。
（2）定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中高档题目。
三、双曲线
1．考纲点击
（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单几何性质。
（2）了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用。
（3）理解数形结合的思想。
2．热点提示
（1）双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；双曲线与其他圆锥曲线的交汇命题是热点。
（2）主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题。
四、抛物线
1．考纲点击
（1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。
（2）理解数形结合的思想。
（3）了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。
2．热点提示
（1）抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，抛物线与直线、椭圆、双曲线的交汇综合题是考查的热点。
（2）多以选择、填空题为主，多为中低档题。有时也与直线、椭圆、双曲线交汇考查的解答题，此时属中高档题。
【考纲知识梳理】
一、曲线与方程
1．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
注：如果中满足第（2）个条件，会出现什么情况？（若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”），则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程，如分段函数的解析式。
2．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系??建立适当的坐标系.
(2)设点??设轨迹上的任一点P(x,y).
(3)列式??列出动点P所满足的关系式.
(4)代换??依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式，并化简。
(5)证明??证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
注:求轨迹和轨迹方程有什么不同?(求轨迹和轨迹方程的不同:后者只指方程(包括范围)),而前者包含方程及所求轨迹的形状、位置、大小等。
二、椭圆
1．对椭圆定义的理解：平面内动点P到两个定点 ， 的距离的和等于常数2a,当2a> 时，动点P的轨迹是椭圆；当2a= 时，轨迹为线段 ；当2a< 时，轨迹不存在。
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
图
形
性

质范围
对称性对称轴：坐标轴
对称中心：原点对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
轴长轴 的长为2a
短轴 的长为2b
焦距 =2c

离心率
a,b,c的关系
注：椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度的关系（离心率越接近1，椭圆越扁，离心率越接近0，椭圆就越接近于圆）。
3．点与椭圆的位置关系

三、双曲线
1．双曲线的定义
（1）平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：
①与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数2a.
② 。
（2）上述双曲线的焦点是 ， ，焦距是 。
注：当2a= 时，动点的轨迹是两条射线；当2a? 时，动点的轨迹不存在；当2a=0时，动点的轨迹是线段 的中垂线。
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
图
形
性

质范围x≥a或x≤-ay≤-a或y≥a
对称性对称轴：坐标轴
对称中心：原点对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点顶点坐标：
顶点坐标：

渐近线
离心率
实虚轴线段 叫做双曲线的实轴，它的长 =2a；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长 =2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。
a,b,c的关系
注：离心率越大，双曲线的“开口”越大。
3．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为 ，离心率 ，渐近线方程为
四、抛物线
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线 （ 不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。
注：当定点F在定直线 时，动点的轨迹是过点F与直线 垂直的直线。
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程


图
形
性

质对称轴x轴x轴y轴y轴
焦点坐标

准线方程

焦半径

范围

顶点

离心率
【要点名师解析】
一、曲线与方程
（一）用直接法求轨迹方程
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1．如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含 、 的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。
2．用直接法求轨迹方程是近年来高考常考的题型，有时题目以向量为背景，解题中需注意向量的坐标化运算。有时需分类讨论。
※例题解析※
〖例〗如图所示，设动直线 垂直于x轴，且与椭圆 交于A、B两点，P是 上满足 的点，求点P的轨迹方程。
思路解析：设P点坐标为(x,y) 求出A、B两点坐标 代入 求P点轨迹 标明x的范围。
解答：设P点的坐标为(x,y)，则由方程 ，得 ，∴ ，∴A、B两点的坐标分别为 ，又 ，
∴ ，即 又直线 与椭圆交于两点，∴-2（二）用定义法求轨迹方程
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1．运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
2．用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活应用定义。同时用定义法求轨迹方程也是近几年来高考的热点之一。
※例题解析※
〖例〗如图所示，

一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的轴线。
思路解析：利用两圆的位置关系一相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再从关系分析满足何种关系的定义。
解答：方法一
设动圆圆心为M（x,y）,半径为R，设已知圆的加以分别为 、 ，
将圆的方程分别配方得： ，
当动圆与圆 相外切时，有 M=R+2…………①
当动圆与圆 相内切时，有 M=R+2……………②
将①②两式相加，得 M+ M=12> ，
∴动圆圆心M（x,y）到点 （-3，0）和 （3，0）的距离和是常数12，
所以点M的轨迹是焦点为点 （-3，0）、 （3，0），长轴长等于12的椭圆。
∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6
∴
∴圆心轨迹方程为 ，轨迹为椭圆。
方法二：由方法一可得方程 移项再两边分别平方得：
两边再平方得： ，整理得
所以圆心轨迹方程为 ，轨迹为椭圆。
注：（1）平面向量知识融入解析几何是高考命题的一大特点，实际上平面向量的知识在这里只是表面上的现象，解析几何的实质是坐标法，就是用方程的思想研究曲线，用曲线的性质研究方程，轨迹问题正是体现这一思想的重要表现形式，我们只要能把向量所表示的关系转化为坐标的关系，这类问题就不难解决了。而与解析几何有关的范围问题也是高考常考的重点。求解参数问题主要是根据条件建立含参数的函数关系式，然后确定参数的值。
（2）回归定义是解圆锥曲线问题十分有效的方法，值得重视。
（3）对于“是否存在型”探索性问题的求解，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在。
（三）用相关点法（代入法）求轨迹方程
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1．动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x,y）却随另一动点 的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将 表示x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。
2．用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式： ，然后代入已知曲线。而求对称曲线（轴对称、中心对称）方程实质上也是用代入法（相关点法）解题。
※例题解析※
〖例〗已知A（-1，0），B（1，4），在平面上动点Q满足 ，点P是点Q关于直线y=2(x-4)的对称点，求动点P的轨迹方程。
思路解析：由已知易得动点Q的轨迹方程，然后找出P点与Q点的坐标关系，代入即可。
解答：
设Q（x,y），则
故由 ，即
所以点Q的轨迹是以C（0，2）为圆心，以3为半径的圆。
∵点P是点Q关于直线y=2(x-4)的对称点。
∴动点P的轨迹是一个以 为圆心，半径为3的圆，其中 是点C（0，2）关于直线y=2(x-4) 的对称点，即直线y=2(x-4)过 的中点，且与 垂直，于是有
，
解得：
故动点P的轨迹方程为 。
（四）用参数法求轨迹方程
〖例〗设椭圆方程为 ，过点 的直线 交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足 点N的坐标为 ，当 绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2） 的最小值与最大值。
解析：（1）直线 过点 ，当斜率存在时，设其斜率为 ，则 的方程为 记 由题设可得点A、B的坐标 是方程组 的解，消去 得 于是
，
设点P的坐标为 ，则
消去参数 得 ①
当 不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程①，
所以点P的轨迹方程为 。
（2）由点P的轨迹方程知 即
又 故
当 时， 取得最小值为 ；
当 时， 取得最大值为 。

二、椭圆
（一）椭圆的定义以及标准方程
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求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法。用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：
（1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能。
（2）设方程：根据上述判断设方程 。
（3）找关系：根据已知条件，建立关于 的方程组。
（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求。
注：当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设 ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 ，这种形式在解题时更简便。
〖例〗已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。
思路解析：设椭圆方程为 →根据题意求 →得方程。
解答：设所求的椭圆方程为 ，
由已知条件得
故所求方程为
（二）椭圆的几何性质
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1．椭圆的几何性质涉及一些不等关系，例如对椭圆 ，有 等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值时，经常用到这些不等关系。
2．求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形。当涉及到顶点、焦点、准线、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系。
3．求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围。离心率e与 的关系：

※例题解析※
〖例〗已知椭圆 的长轴、短轴端点分别为A、B，从椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 ，向量 与 是共线向量。
求椭圆的离心率 ；
设Q是椭圆上任意一点， 、 分别是左、右焦点，求∠ 的取值范围。
思路解析：由 与 是共线向量可知AB∥OM，从而可得关于 的等量关系，从而求得离心率 ；若求∠ 的取值范围，即需求cos∠ 的范围，用余弦定理即可。
解答：（1）设 （-c,0）,则

（2）设 = ， = ，∠ = ，∴ + =2 ， =2 ，

注：熟练掌握椭圆定义及性质并且其解决相应问题，在求离心率 时，除已知等式 外，还需一个关于 的等式，即可求得 。
（三）直线与椭圆的位置关系
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1．直线与椭圆位置关系的判定
把椭圆方程 与直线方程y=kx+b联立消去y，整理成形如 的形式，对此一元二次方程有：
（1）?>0,直线与椭圆相交，有两个公共点；
（2）?=0，直线与椭圆相切，有一个公共点；
（3）?<0，直线与椭圆相离，无公共点。
2．直线被椭圆截得的张长公式，设直线与椭圆交于 两点，则

注：解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决。
※例题解析※
〖例1〗中心在原点，一个焦点为F1（0， ）的椭圆截直线 所得弦的中点横坐标为 ，求椭圆的方程
思路解析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0， ）知，c= ， ，最后解关于a、b的方程组即可
解答：设椭圆的标准方程为 ，由F1（0， ）得
把直线方程 代入椭圆方程整理得： 。
设弦的两个端点为 ，则由根与系数的关系得：
，又AB的中点横坐标为 ，
，与方程 联立可解出
故所求椭圆的方程为： 。
〖例2〗已知椭圆： ，过左焦点F作倾斜角为 的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长
解答：a=3,b=1,c=2 ，则F（-2 ，0）。
由题意知： 与 联立消去y得： 。
设A（ 、B（ ，则 是上面方程的二实根，由违达定理， ， ， 又因为A、B、F都是直线 上的点，
所以AB=
（四）与椭圆有关的综合问题
〖例〗如图，

已知椭圆C： 经过椭圆C的右焦点F且斜率为k(k≠0)有直线 交椭圆C于A、B两点，M为线段AB中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点。
（1）是否存在k，使对任意m>0,总有 成立？若存在，求出所有k的值；
（2）若 ，求实数k的取值范围。
思路解析：第（1）问为存在性问题，可先假设存在，然后由 可知M点为ON中点，用坐标表示相关量可求。
第（2）问用坐标表示向量数量积，列式求解即可。
解答：椭圆C： ，直线AB的方程为：y=k(x-m).
由
消去y得

设 ，则

则
若存在k,使 总成立，M为线段AB的中点，∴M为ON的中点，
∴
∴
即N点的坐标为 。
由N点在椭圆上，则
即
即
故存在k=±1,使对任意m>0，总有 成立。
（2）

由 得
即
注：探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神。因此越来越受到高考命题者的青睐。
（1）本题第（1）问是一是否存在性问题，实质上是探索结论的开放性问题。相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论有时候需讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试命题者的青睐。解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性。探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素。
（2）第（2）问是参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。在历年高考中占有较稳定的比重。
三、双曲线
（一）双曲线的定义与标准方程
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1．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支。
2．求双曲线标准方程的方法
（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应 即可求得方程；
（2）待定系数法，其步骤是
①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；
②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；
③定值：根据题目条件确定相关的系数。
注：若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为： 。
※例题解析※
〖例〗已知动圆M与圆 外切，与圆 内切，求动圆圆心M的轨迹方程。
思路解析：利用两圆心、外切圆心距与两圆半径的关系找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解。
解答：设动圆M的半径为r则由已知 。
又 （-4，0）， （4，0），∴ =8，∴ < 。
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以 （-4，0）、 （4，0）为焦点的双曲线的右支。

（二）双曲线的几何性质
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1．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互联系。
2．在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程。同时要熟练掌握以下三方面内容：
（1）已知双曲线方程，求它的渐近线；
（2）求已知渐近线的双曲线的方程；
（3）渐近线的斜率与离心率的关系。
如
注：（1）已知渐近线方程为 则双曲线的标准方程为 的形式，根据其他条件确定 的正负。若 >0，焦点在x轴上；若 <0，焦点在y轴上。
（2）与双曲线 共渐近的双曲线方程为 ；
与双曲线 共焦点的圆锥曲线方程为 。
※例题解析※
〖例〗中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 ，且 ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7。
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为这两曲线的一个交点，求 的值。
思路解析：设椭圆方程为 ，双曲线方程为 →分别求a,b,m,n的值→利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求得 。
解答：（1）由已知： ，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，则
，
解得a=7,m=3.
∴b=6,n=2.
∴椭圆方程为 双曲线方程为 。
（2）不妨设 分别为左右焦点，P是第一象限的一个交点，则 所以 又 ，
∴ = =
（三）直线与双曲线的位置关系
〖例〗（1）求直线 被双曲线 截得的弦长；
（2）求过定点 的直线被双曲线 截得的弦中点轨迹方程
解析：由 得 得 （*）
设方程（*）的解为 ，则有 得，

（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为 ，它被双曲线截得的弦为 对应的中点为 ，
由 得 （*）
设方程（*）的解为 ，则 ，
∴ ，
且 ，
∴ ，

得 或 。
方法二：设弦的两个端点坐标为 ，弦中点为 ，则
得： ，
∴ ， 即 ， 即 （图象的一部分）
注：圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力，所以成为高考的热点。
在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找。对于圆锥曲线的参数的取值范围问题或最值问题，解法通常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时，可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式（如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时?>0等），通过解不等式（组）求得参数的取值范围；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域。
四、抛物线
（一）抛物线的定义及应用
※相关链接※
1．抛物线的离心率 =1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化。
2．焦半径 它们在解题中有重要作用，注意灵活运用。
※例题解析※
〖例〗已知抛物线C的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5。若将抛物线C向上平移3个单位，则在x轴上截得的线段长为原抛物线C在x轴上截得的线段长的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程。
解答：设所求抛物线方程为(x-h)2=a(y-k)(a∈R,a≠0) ①
由①的顶点到原点的距离为5，得 =5②
在①中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。设方程的二根为x1,x2，则
x1-x2=2 。
将抛物线①向上平移3个单位，得抛物线的方程为
(x-h)2=a(y-k-3)
令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。设方程的二根为x3,x4，则
x3-x4=2 。
依题意得2 = ?2 ，
即 4(ak+3a)=ak ③
将抛物线①向左平移1个单位，得(x-h+1)2=a(y-k),
由抛物线过原点，得(1-h)2=-ak ④
由②③④得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。
∴所求抛物线方程为(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。
（二）抛物线的标准方程与几何性质
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1．求抛物线的标准方程常采用待定系数法。利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值；
2．对于直线和抛物线有两个交点问题，“点差法”是常用法。如若 是抛物线 上两点，则直线AB的斜率 与 可得如下等式 。
注：抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是关键，在方程类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程。
※例题解析※
〖例〗已知如图所示，抛物线 的焦点为 ， 在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方， 到抛物线准线的距离等于5。过 作 垂直于y轴，垂足为 ， 的中点为 。

（1）求抛物线方程；
（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标。
思路解析：由抛物线定义求p→求直线 ，MN的方程→解方程组得N点坐标。
解答：（1）抛物线 的准线为 于是4+ =5，∴ =2．∴抛物线方程为y2=4x
（２）∵点 的坐标是（４，４），由题意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0),∴ .∵MN⊥FA,∴ .则FA的方程为 ,MN的方程为y-2= x,解方程组 ,得
∴ .
(三)直线与抛物线的位置关系
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1.直线与抛物线的位置关系
设抛线方程为 ,直线Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线方程联立,消去x得到关于y的方程my2+ny+q=0,
(1)若m≠0,当?＞0时,直线与抛物线有两个公共点;
当?=0时,直线与抛物线只有一个公共点;
当?＜0时,直线与抛物线没有公共点.
(2)若m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行.
2.焦点弦问题
已知AB是过抛物线 的焦点的弦,F为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1) y1?y2=-p2, ? = ;
（2）
（3） ；
（4）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
※例题解析※
〖例〗已知抛物线方程为 ，直线 过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。
解析：设 与抛物线交于
由距离公式AB= =
由

从而 由于p>0，解得
（四）抛物线的实际应用
〖例〗如图， ， 是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路，连接M、N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L1对称．M到L1、L2的距离分别是2 km、4km，N到L1、L2的距离分别是3 km、9 kin．

（1）建立适当的坐标系，求抛物线弧MN的方程；
（Ⅱ）该市拟在点0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点0的距离大于5km而不超过8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于 km．求 此厂离点0的最近距离．（注：工厂视为一个点）
解析：（1）分别以 、 为 轴、 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M（2，4），N（3，9）

设MN所在抛物线的方程为 ，则有
，解得
∴所求方程为 （2≤ ≤3）5分
（说明：若建系后直接射抛物线方程为 ，代入一个点坐标求对方程，本问扣2分）
（2）设抛物线弧上任意一点P（ ， ）（2≤ ≤3）
厂址为点A（0， ）（5＜t≤8 ，由题意得 ≥
∴ ≥07分
令 ，∵2≤ ≤3，∴4≤ ≤9
∴对于任意的 ，不等式 ≥0恒成立（*）8分
设 ，∵ ≤8
∴ ≤ .
要使（*）恒成立，需△≤0，即 ≤010分
解得 ≥ ，∴ 的最小值为
所以，该厂距离点O的最近距离为6.25km12分
注：对实际应用问题，首先应审清题意，找出各量之间的关系，建立数学模型，然后用数学的方法解答，并回到实际问题中验证其正确性。
【感悟高考真题】
1．（2011?新课标全国高考文科?Ｔ4）椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【思路点拨】通过方程确定 的值，离心率 .
【精讲精析】选D 由题意
2．（2011?安徽高考理科?Ｔ2）双曲线 的实轴长是
（Ａ）２　　　　（Ｂ） 　　　　　（Ｃ）４　　　　（Ｄ）
【思路点拨】先将双曲线方程化成标准形式，从而求得实半轴长.
【精讲精析】选C. 将双曲线 化成标准方程 ，则 ，所以实轴长2a=4.

3．（2011?广东高考文科?Ｔ8）设圆C与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆
【思路点拨】先求圆x2+（y-3）2=1的圆心坐标为（0，3），利用动圆圆心到点（0，3）与直线y=-1的距离相等得结论.
【精讲精析】选A.由题意，C的圆心到点（0，3）与直线y=-1的距离相等，由抛物线的定义知C的圆心轨迹为抛物线，故选A.
4．（2011?福建卷理科?Ｔ17）(本小题满分13分)已知直线 ：y=x+m，m∈R.
（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线 相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
（II）若直线 关于x轴对称的直线为 ，问直线 与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由.
【思路点拨】（1）由题意画出图形，结合图形求出圆的半径，然后写出圆的标准方程；
（2）由 的方程求得 的方程，将 的方程与抛物线C的方程联立，得一元二次方程，然后依据对应判别式 的正负，来判定两者能否相切.
【精讲精析】解法1：（I）依题意，点 的坐标为 .
因为 所以
解得 ，即点 坐标为 .
从而圆的半径
故所求圆的方程为 .
(Ⅱ)因为直线 的方程为 ，所以直线 的方程为 .
由 得 .

当 ，即 时，直线 与抛物线C相切；
当 ，即 时，直线 与抛物线C不相切.
综上，当 时，直线 与抛物线 相切；当 时，直线 与抛物线C不相切.
解法2：（I）设所求圆的半径为 ，则圆的方程可设为 .
依题意，所求圆与直线 相切于点 ，则
解得
所以所求圆的方程为 .
（II）同解法1.
5．（2011?山东高考理科?Ｔ8）已知双曲线 （a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为
（A） （B） （C） （D）
【思路点拨】先求出圆C的圆心坐标（3,0），半径r=2，再求出渐近线方程，由圆心到渐近线的距离等于半径即可得到a,b的关系，再由双曲线的右焦点为圆C的圆心知c=2，即可求出结果.
【精讲精析】选A.双曲线的渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0，圆心为（3,0），半径r=2.由圆心到直线的距离为 所以4a2=5b2又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心，所以c=3，即9=a2+b2 所以，a2=5，b2=4.
6．（2011?山东高考文科?Ｔ15）已知双曲线 和椭圆 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .
【思路点拨】先求椭圆焦点，即双曲线的焦点，再由双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍求出b，然后写出双曲线的方程.
【精讲精析】由题意知双曲线的焦点为（- ，0）、（ ，0），即c= ，又因为双曲线的离心率为 ，所以a=2,故b2=3，所以双曲线的方程为
7．（2011?新课标全国高考理科?Ｔ20）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足 ， ，M点的轨迹为曲线C.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值.
【思路点拨】第（1）问，求 点的轨迹，可设 点坐标为 ，然后利用条件 得到点B的坐标，最后将条件 转化为坐标关系，得到 满足的关系式，化简整理即得 的方程；
第（2）问，设出点 的坐标，利用导数求出切线 的斜率，表示出 的方程，再利用点到直线的距离公式求得 点到 距离的函数，然后利用函数的知识求出最值即可.
【精讲精析】(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
所以 =（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).
再由题意可知（ + ）? =0, 即（-x,-4-2y）? (x,-2)=0.
所以曲线C的方程式为y= x -2.
(Ⅱ)设P(x ,y )为曲线C：y= x -2上一点，因为y= x,所以 的斜率为 x
因此直线 的方程为 ，即 .
则O点到 的距离 .又 ，所以

当 =0时取等号，所以O点到 距离的最小值为2.

8．（2010?湖南理数）19．（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线 的右侧，考察范围为到点B的距离不超过 km的区域；在直线 的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过 km的区域．
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；

（Ⅱ）如图6所示，设线段 ， 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．

【解析】（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为 .当 ≥2时，由题意知
当
，因而其方程为
故考察区域边界曲线（如图）的方程为

（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为

【考点模拟演练】
一、选择题
1．设曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 ( )
A、 B、 C、 D、
答案：A
2．设曲线 在点（1, ）处的切线与直线 平行,则 ( )
A．1 B． C． D．
答案：A
3．双曲线 （a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且PF1=2PF2，则双曲线离心率的取值范围为( )
A.（0，3） B.（1，3） C.（3，+∞） D. [3，+∞]
答案：B
4．若 ，则点 必在（ ）
A．直线 的左下方B．直线 的右上方
C．直线 的左下方D．直线 的右上方
答案：C
5．若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F点”，下列曲线中存在“F点”的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
6．北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示，

内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线 、 ，设内层椭圆方程为 ，则外层椭圆方程可设为 .若 与 的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：A
7．已知椭圆 中，原点 为中心， 为左焦点， 为左顶点，椭圆的左准线交 轴于点 ， 、 为椭圆上两动点， 垂直左准线于点 ， 轴，则椭圆的离心率为① ；② ；③ ；④ ；⑤ .上述离心率正确的个数有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案：D
8．已知方程 ，它们所表示的曲线可能是（ ）

答案：B
9．若双曲线的顶点为椭圆 长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
10．以双曲线 的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是( )
A. B. C. D.
答案：D
11．如图，有公共左顶点和公共左焦点 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为 和 ，半焦距分别为 和 .则下列结论不正确的是 （ ）

A. B. C. D.
答案：C
12．双曲线 的渐近线与圆 相切，则 等于（ ）
A. B.2 C. 3 D. 6
答案：A
二、填空题
13．△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－ ,0),C( ,0)（其中m＞0，且m为常数），且满足条件sinC－sinB= sinA,则动点A的轨迹方程为____.
答案：
14．曲线 在点（1，1）处的切线与x轴、直线 所围成的三角形的面积为 .
答案：-16
15．已知两点 ， ，若抛物线 上存在点 使 为等边三角形，则 .
答案：5或
16．过双曲线 的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于P,Q两点，则PQ｜的值为__________.
答案：
三、解答题

17．（本题满分15分）如图，△ABC为直角三角形， 点M在y轴上， ，
点C在x轴上移动．

（1）求点B的轨迹E的方程；
（2）过点 的直线l与曲线E交于P、Q两点，设
的夹角为 ，若恒有 ，求实数 的取值范围；
（3）设以点N(0，m)为圆心，以 为半径的圆与曲线E在第一象限的交点H，
若圆在点H处的切线与曲线E在点H处的切线互相垂直，求实数m的值．
解：（1） M是BC的中点
…………2分

（2）设直线l的方程为 ，

恒成立。 ………………9分
………………11分
（3）由题意知，NH是曲线C的切线，设 则
………………13分
又
得 …………15分

18．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．
已知点 是双曲线M： 的左右焦点，其渐近线为 ，且右顶点到左焦点的距离为3．
(1)求双曲线M的方程；
(2) 过 的直线 与M相交于 、 两点，直线 的法向量为 ，且 ，求k的值；
(3)在(2)的条件下，若双曲线M在第四象限的部分存在一点C满足 ，求m的值及△ABC的面积 ．
解: (1) 由题意得 ．…………………………………………………………4分
(2) 直线 的方程为 ，由 得 （*）
所以 ………………………………………………………………6分
由 得
即
代入化简，并解得 （舍去负值）……………………………………………9分
(3)把 代入（*）并化简得 ，
此时 ，
所以 …………………………………11分
设 ，由 得 代入双曲线M的方程解得
（舍），m=2，所以 ，……………………………………14分
点C到直线AB的距离为 ，
所以 ．……………………………………………………16分


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