全国各地高考文科数学试题分类汇编11：概率与统计

一、
1 ．（高考安徽（文））若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
2 ．（高考重庆卷（文））下图是某公 司10个销售店某月销售某
产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间[20,30)内的概率为（　　）
A．0.2B．0.4C．0.5D．0.6
【答案】B
3 ．（高考湖南（文））已 知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为 ,则 =____（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
4 ．（高考江西卷（文））集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
5 ．（高考湖南（文））某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___（　　）
A．9B．10C．12D．13
【答案】D
6 ．（高考山东卷（文））将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以 表示:

则7个剩余分数的方差为（　　）
A． B． C．36D．
【答案】B
7 ．（高考四川卷（文））某学校随机抽取 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为 将数据分组成 , ,, , 时,所作的频率分布直方图是
【答案】A
8 ．（高考课标Ⅰ卷（文））从 中任取 个不同的数,则取出的 个数之差的绝对值为 的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
9 ．（高考陕西卷（文））对一批产品的长度(单位: )进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为（　　）
A．0.09B．0.20C．0.25D．0.45
【答案】D
10．（高考江西卷（文））总体编号为01,02,19,20的20个个体组成.
利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列
和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为（　　）
A．08B．07C．02 D．01
【答案】D
11．（高考辽宁卷（文））某学校组织学生参加英语测试,成绩
的频率分布直方图如图,数据的分组一次为 , ,若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
12．四名同学根据各自的样本数据研究变量 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论: ① y与x负相关且 ; ② y与x负相关且 ;
③ y与x正相关且 ; ④ y与x正相关且 .
其中一定不正确的结论的序号是
A.①② B.②③ C.③④ D. ①④
【答案】D
13．已知 与 之间的几组数据如下表:
12345 6
021334

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 .若某同学根据上表中前两组数据 和 求得的直线方程为 ,则以下结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
二、题
14．（高考浙江卷（文））从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于_________.
【答案】
15．（高考湖北卷（文））在区间 上随机地取一个数x,若x满足 的概率为 ,则 __________.
【答案】3
16．（高考福建卷（文））利用计算机产生 之间的均匀随机数 ,则事件“ ”发生的概率为_______
【答案】
17．（高考重庆卷（文））若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为____________.
【答案】
18．（高考辽宁卷（文））为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为____________.
【答案】10
19．（上海高考数学试题（文科））某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为________.
【答案】78
20．（高考湖北卷（文））某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4
则(Ⅰ)平均命中环数为__________; (Ⅱ)命中环数的标准差为__________.
【答案】(Ⅰ)7 (Ⅱ)2
21．（高考课标Ⅱ卷（文））从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是________.
【答案】
22．（上海高考数学试题（文科））盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球,从中 任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是_______(结果用最简分数表示).
【答案】
三、解答题
23．（高考江西卷（文））小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还
是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点
中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X>0
就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.
(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率
【答案】解:(1) x 的所有可能取值为-2 ,-1 ,0, 1．
(2)数量积为-2的只有 一种
数量积为-1的有 , 六种
数量积为0的有 四种
数量积为1的有 四种
故所有可能的情况共有15种. 所以小波去下棋的概率为
因为去唱歌的概率为 ,所以小波不去唱歌的概率
24．（高考陕西卷（文））
有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:
组别ABCDE
人数5010015015050
(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别ABCDE
人数5010015015050
抽取人数6
(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2 人都支持1号歌手的概率.
【答案】解: (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数.
从B组100人中抽取6人,即从50 人中抽取3人,从100人中抽取6人,从100人中抽取9人.
(Ⅱ) A组抽取的3人中有2人支持1号歌手,则从3人中任选1人,支持支持1号歌手的概率为 •
B组抽取的6人中有2人支持1号歌手,则从6人中任选1人,支持支持1号歌手的概率为 •
现从抽样评委A组3人,B组6人中各自任选一人,则这2人都支持
1号歌手的概率 .
所以,从A,B两组抽样评委中,各自任选一人,则这2人都支持1号歌
手的概率为 .
25．（高考四川卷（文））
某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 在 这
个整数中等可能随机产生.
(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 的值为 的概率 ;
(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为 的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.

当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.
【答案】解:(Ⅰ)变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生的一个数,共有24种可能.
当 从 这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1=1/2；
当 从 这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2=1/3；
当 从 这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3=1/6.
所以输出y的值为1的概率为1/2,输出y的 值为2的概率为1/3,输出y的值为3的概率为1/6.
(Ⅱ)当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下,
输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率
甲

比较频率趋势与概率,可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大.
26．（高考辽宁卷（文））现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取3道题解答.试求:
(I)所取的2道题都是甲 类题的概率; (II)所取的2道题不是同一类题的概率.
【答案】

27．（高考天津卷（文））某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:
产品编号A1A2A3A4A5
质量指标(x, y, z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)
产品编号A6A7A8A9A10
质量指标(x, y, z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)
(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,
(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;
(⒉) 设事件B为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率.
【答案】


28．（高考湖南（文））某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收货量 (单位:kg)与它的“相近”作物株数 之间的关系如下表所示:

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(Ⅰ)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;

(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.
【答案】解: (Ⅰ) 由图知,三角形中共有15个格点,
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4).
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0,1,) ,(0,2),(0,3,).
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1).如下表所示:
Y51484542
频数2463
平均年收获量 .
(Ⅱ)在15株中,年收获量至少为48kg的作物共有2+4=6个.
所以,15株中任选一个,它的年收获量至少为48k的概率P= .
29．（高考安徽（文））为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下： 甲 乙
7 4 5
5 3 3 2 5 3 3 8
5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5
8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9
7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8
2 0 9 0

（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 ，估计 的值.
【答案】解:(1) ，
(2) =
=

30．（高考课标Ⅱ卷（文））经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直图,如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位:t≤100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(Ⅰ)将T表示为X的函数;
(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.
【答案】

31．（高考广东卷（文））从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:
分组(重量)
频数(个)510
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 的频率;
(2) 用分层抽样的方法从重量在 和 的苹果中共抽取4个,其中重量在 的有几个?
(3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在 和 中各有1个的概率.
【答案】(1)重量在 的频率 ;
(2)若采用分层抽样的方法从重量在 和 的苹果中共抽取4个,则重量在 的个数 ;
(3)设在 中抽取的一个苹果为 ,在 中抽取的三个苹果分别为 ,从抽出的 个苹果中,任取 个共有 种情况,其中符合“重量在 和 中各有一个”的情况共有 种;设“抽出的 个苹果中,任取 个,求重量在 和 中各有一个”为事件 ,则事件 的概率 ;
32．（高考山东卷（文））某小组共有 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米2)，如下表所示:
ABCDE
身高1.691.731.751.791.82
体重指标19.225.118.523.320.9
(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到 的2人身高都在1.78以下的概率
(Ⅱ)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率
【答案】


33．（高考北京卷（文））下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率;
(Ⅱ)求此人在该市停留期间只有1天空气
重度污染的概率;
(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气
质量指数方差最大?(结论不要求证明)
【答案】解:(I)在3月1日至3月13日这
13天中,1日.2日.3日.7日.12日.13日共
6天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是 .
(II)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”.所以此人在该市停留期间只有1天空气质量重度污染的概率为 .
(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
34．（高考福建卷（文））某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样 的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成5组: , , , , 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率.
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 的列联表,并判断是否有 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

附表:

【答案】解:(Ⅰ)由已知得,样本中有 周岁以上组工人 名, 周岁以下组工人 名
所以,样本中日平均生产件数不足 件的工人中, 周岁以上组工人有 (人),
记为 , , ; 周岁以下组工人有 (人),记为 ,
从中随机抽取 名工人,所有可能的结果共有 种,他们是:
, , , , , , , , ,
其中,至少有名“ 周岁以下组”工人的可能结果共有 种,它们是:
, , , , , , .故所求的概率:
(Ⅱ)由频率分布直方图可知,在抽取的 名工人中,“ 周岁以上组”中的生产能手 (人),“ 周岁以下组”中的生产能手 (人),据此可得 列联表如下:
生产能手非生产能手合计
周岁以上组
周岁以下组
合计
所以得:
因为 ,所以没有 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”
35．（高考大纲卷（文））甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为 各局比赛的结果都相互独立,第 局甲当裁判.
(I)求第 局甲当裁判的概率;(II)求前 局中乙恰好当 次裁判概率.
【答案】(Ⅰ)记 表示事件“第2局结果为甲胜”, 表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,
A表示事件“第4局甲当裁判”. 则 . .
(Ⅱ)记 表示事件“第1局结果为乙胜”, 表示事件“第2局乙参加比赛时,结果为乙胜”,
表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙胜”, B表示事件“前4局中恰好当1次裁判”.
则 .

.
36．（高考课标Ⅰ卷（文））(本小题满分共12分)
为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 药, 药)的疗效,随机地选取 位患者服用 药, 位患者服用 药,这 位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位: ),试验的观测结果如下:
服用 药的 位患者日平均增加的睡眠时间:
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用 药的 位患者日平均增加的睡眠时间:
3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?
(3)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

【答案】(本小题满分共12分)
(1)设A药观测数据的平均数为 ,B药观测数据的平均数为 ,又观测结果可得
(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3,

由以上计算结果可得 > ,因此可看出A药的疗效更好
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图:
A药B药
60.5 5 6 8 9
8 5 5 2 21.1 2 2 3 4 6 7 8 9
9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2.1 4 5 6 7
5 2 1 03.2
从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2.3上,而B药疗效的试验结果有 的叶集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗效更好.
37．(本小题满分13分,(Ⅰ)小问9分,(Ⅱ)、(Ⅲ)小问各2分)
从某居民区随机抽取10个家庭,获得第 个家庭的月收入 (单位:千元)与月储蓄 (单位:千元)的数据资料,算得 , , , .
(Ⅰ)求家庭的月储蓄 对月收入 的线性回归方程 ;
(Ⅱ)判断变量 与 之间是正相关还是负相关;
(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.
附:线性回归方程 中, , ,
其中 , 为样本平均值,线性回归方程也可写为 .

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