第十九章　优选法

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　　1.通过分析和解决具体实际问题，使学生掌握分数法、0.618法及其适用范围，运用这些方法解决一些实际问题，体会优选的思想方法.
2.了解斐波那契数列{Fn}，理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明，通过连分数知道Fn－1和黄金分割的关系.
3.知道对分法、盲人爬山法、分批试验法，以及目标函数为多峰情况下的处理方法.　　本章重点：根据不同的实际问题选择恰当的寻找最佳点的方法.
本章难点：比较不同优选方法的利弊和适用范围.　　在生产和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低耗等目标，需要对有关因素的最佳组合进行选择.在实践中的许多情况下，试验结果与因素之间的关系要么很难用数学形式来表达，要么表达式很复杂.优选法是解决这类问题的常用数学方法.

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典例精析
题型一　关于黄金分割法的优选法应用问题
【例1】炼某种航天材料，需添加某种化学元素以增加抗氧化强度，加入范围是1 000~
2 000克，求最佳加入量.
【解析】第一步：先在试验范围长度的0.618处做第(1)个试验：
x1＝小＋(大－小)×0.618＝1 000＋(2 000－1 000)×0.618＝1 618克.
第二步：第(2)个试验点由公式计算：
x2＝大＋小－x1＝2 000＋1 000－1 618＝1 382克.
第三步：比较(1)与(2)两点上所做试验的效果，现在假设第(1)点比较好，就去掉第(2)点，即去掉[1 000,1 382]这一段范围，留下[1 382,2 000].
而第(3)试点x3＝大＋小－x1＝1 382＋2 000－1 618＝1 764克.
第四步：比较在上次留下的好点，即第(1)处和第(3)处的试验结果，看哪个点好，然后就去掉效果差的那个试验点以外的那部分范围，留下包含好点在内的那部分范围作为新的试验范围，……如此反复，直到得到较好的试验结果为止.
【点拨】可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的0.618倍，随着试验范围越来越小，试验越趋于最优点，直到达到所需精度即可.
【变式训练1】设有一个优选问题，其因素范围是1 500~2 500，假设最优点在2 300处.
(1)用0.618法进行优选，写出第二，第三个试点的数值；
(2)若第一试点取2 010，写出第二，第三，第四个试点的数值.
【解析】(1)由0.618法得第一个试点为x1＝1 500＋0.618×(2 500－1 500)＝2 118.
由“加两头，减中间”得x2＝1 500＋2 500－2 118＝1 882.
因为最优点在2 300处，所以新的存优范围是[1 882,2 500]，
所以x3＝2 500＋1 882－2 118＝2 264.
同理可知新的存优范围是[2 118,2 500].
(2)因为x1＝2 010，则由对称原理知x2＝1 500＋2 500－2 010＝1 990，因为最优点在2 300处，所以x1优于x2，新的存优范围是[1 990,2 500].
所以x3＝1 990＋2 500－2 010＝2 480，所以新的存优范围是[2 010,2 500].
所以x4＝2 010＋2 500－2 480＝2 030.
题型二　用分数法解决优选法的应用问题
【例2】某化工厂准备对一化工产品进行技术改良，现决定优选加工温度，试验范围定为60 ℃~81 ℃，精确度要求±1 ℃，现在技术员用分数法进行优选.
(1)如何安排试验？
(2)若最佳点为69 ℃，请列出各试验点的数值；
(3)要通过多少次试验才可以找出最佳点？
【解析】(1)试验区间为[60,81]，等分为21段，分点为61,62，…，79,80，所以60＋1321×
(81－60)＝73(℃).故第一试点安排在73 ℃.
由“加两头，减中间”的方法得60＋81－73＝68，所以第二试点选在68 ℃.后续试点也可以用“加两头，减中间”的方法来确定.
(2)若最佳点为69 ℃，即从第二次试验开始知69 ℃在存优范围内，由(1)知第一、二次试验点的值分别为73,68，因为69?[60,68]，故去掉68 ℃以下的部分，则第三次试验点的值为68＋81－73＝76.同理去掉76 ℃以上的部分，第四次试验点的值为68＋76－73＝71，第五次试验点的值为68＋73－71＝70，第六次试验点的值为68＋71－70＝69.即安排了6次试验，各试验点的数值依次为：73,68,76,71,70,69.
(3)共有20个分点，由分数法的最优性定理可知F7＝21，即通过6次试验可从这20个分点中找出最佳点.
【点拨】用分数法安排试验，一旦用Fn－1Fn确定第一个试点，后续的试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.
【变式训练2】某国有酒厂发酵某种酒精时规定发酵温度为(28±1)℃，发酵时间为3 000小时以上.为提高工厂效益，技术员老王进行缩短发酵时间的技术改造，决定对发酵温度进行优选.试验范围定为15 ℃~36 ℃，精确度为±1 ℃.请你用分数法帮助老王安排试验.
【解析】(1)将试验区间[15,36]等分为21段，分点为16,17，…，35.
(2)第一试点为15＋(36－15)×13÷21＝28(℃)，
第二试点为15＋(36－15)×8÷21＝23(℃).
(3)以下按分数法顺次确定试点，就可以找到最优发酵温度.
总结提高
单因素方法包括0.618法(也叫黄金分割法)、分数法、对分法、盲人爬山法、分批试验法.其中0.618法和分数法是优选法的重点.优选法中的难点是理解0.618法和分数法的原理和认识分数法的最优性.

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