福建省厦门第一中学—学年度第一学期期中考试高三年数学试卷（理科） .11第Ⅰ卷（共50分）选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。1.已知集合，则满足条件的集合的个数为A．1 B．2 C．3 D．42. 由曲线与直线所围成的图形面积是A． B． C． D．3.已知命题,;命题,,则下列命题中为真命题的是A．B． C． D．4．已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的A．必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．若的内角满足，则= A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是 7．设数列的前项和为，若，则A. B. C. D.8．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则A． B．C． D．9．若函数，若,则实数的取值范围是A. B. C. D.10.已知函数的定义域为，对于任意实数都有且，当时，。若在区间内，有且只有4个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D． 第1页（共4页） 第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在答题卡的相应位置。11.若的面积为，，，则角为 。12．已知向量夹角为 ，且；则 。13.在极坐标系中，点到直线的距离是 。14.已知函数的定义域为,则实数的取值范围是 。15.已知函数的图象为，则如下结论中正确的序号是 。 ①图象关于直线对称； ②图象关于点对称； ③函数在区间上是增函数；④将的图象向右平移个单位长度可以得到图象． 16.某数表中的数按一定规律排列，如下表所示，从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式 。111111…123456…1357911…147101316…159131721…1611162126……………………三.解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本题12分）等差数列的前项和为；等比数列中，．若，（I）求与；（Ⅱ）设，数列的前项和为．若对一切不等式恒成立，求的最大值．18.（本题12分）已知函数，（其中），其部分图像如图所示．（Ⅰ） 求函数的解析式； （Ⅱ）已知横坐标分别为、、的三点、、都在函数的图像上，记，求的值．第2页（共4页）19．（本题12分）某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0.5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）．游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案．（Ⅰ）设闯过（且）关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为，试求出 的表达式；（Ⅱ）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？20．（本题12分）如图， 在三棱锥中，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，，当三棱锥的体积最大时，在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由。（参考公式：棱锥的体积公式,其中表示底面积，表示棱锥的高） 第3页（共4页）21.（本题14分）已知椭圆右焦点是抛物线的焦点，是与在第一象限内的交点，且。（Ⅰ）求与的方程； （Ⅱ）设为轴上的动点，过点作直线与直线垂直，试探究直线与椭圆的位置关系。gkstk22．（本题满分14分）已知函数的图象与的图象关于直线对称。(Ⅰ) 若直线与的图像相切, 求实数的值；(Ⅱ) 判断曲线与曲线公共点的个数. (Ⅲ) 设，比较与的大小, 并说明理由. gkstk第4页（共4页）—学年度第一学期期中考理科数学试题答题卷题号选择题填空题171819202122 总分得分二.填空题：11. ；12. ；13. ；14. ；15. ；16. 。三.解答题：17.(本题满分12分)解：18.(本题满分12分)解： 第1页（共4页）19.(本题满分12分)解： 第2页（共4页）21.（本题满分14分）解：第3页（共4页）22．（本题满分14分） 解：第4页（共4页） 厦门一中—学年度第一学期期中考 高三年理科数学试题参考解答 一、选择题：每小题5分，满分50分．1．D2．C3．B4．A5．D 6．C 7．B 8．B 9．C10．A二、填空题：每小题4分，满分24分．11． 12． 13． 14． 15. ①② 16. 三、解答题（本大题共六小题，满分76分）17.解: （Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，由题意得：，……………2分 解得 ，……………4分 ∴……………6分 （Ⅱ） ∵ ……………10分 ∵是递增数列，∴的最小值为， ……………11分 gkstk 又∵恒成立，∴，故所求的的最大值为 ……………12分 18.解: （Ⅰ）由图可知， ， ………1分∵的最小正周期 ∴ ………………………3分 又 ，且 ∴， ∴ 。……………………6分（Ⅱ） 解法一:∵，∴，……………………9分∴，∴，即 ………（11分）， 于是. …………（12分）解法二: ∵，∴，……………9分,,, 则，即 ……………11分于是. ……………12分gkstk19.解：（Ⅰ）第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，∴，-------2分第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是4，公差也为4的等差数列，∴， ------------------------4分第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是，公比为2的等比数列，∴． -------------------------6分（Ⅱ）令，即，解得 ，∵且 ，∴恒成立． -----------------------------------8分令，即，可得 ， -------------------------------10分∴当时，最大；当时，，-----------------------------11分综上，若你是一名闯关者，当你能冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案． -------------------12分20.解：（Ⅰ）∵，∴，．∵，∴平面------------------------1分∵平面，∴．------------------------2分 ∵，∴．∵，∴平面．------------3分 ∵平面，∴平面平面．------------4分 （Ⅱ）由已知及（Ⅰ）所证可知，平面，，∴是三棱锥的高．∵，，，设，则，．gkstk，∴------6分 ∴当，有最大值，此时．------------7分以为原点，建立如图的空间直角坐标系，则，设是平面的法向量，则，取，得，------------9分设线段上的点的坐标为，则，∵，解得， ------------11分∴在线段上不存在点，使得直线与平面所成角为。------------12分21.解：（Ⅰ）∵点在抛物线上，且，抛物线准线为，所以，，解得：， ∴抛物线方程为，……………………………3分点代入得，所以点，由它在椭圆上及椭圆右焦点为得，解得，所以，椭圆方程为.………………7分。(Ⅱ) 由得，则直线的方程为即，代人椭圆方程为得……………9分则……………11分∵，∴，∴当时，，此时直线与椭圆相交；当时，，此时直线与椭圆相切；当时，，此时直线与椭圆相离。……………14分gkstk22.解：(Ⅰ) 由题意知. ……………1分，设直线与相切与点 。∴……………4分(Ⅱ) 证明曲线与曲线有唯一公共点，过程如下。，∴曲线与曲线只有唯一公共点.……………8分(Ⅲ) 解法一：∵……………9分令。，且∴，∴∴ ……………14分解法二：……………9分以为主元，并将其视为，构造函数，则，且 ……………10分∵且，∴在上单调递增，∴当时，∴在上单调递增，∴当时， ……………10分∴ ……………14分gkstk！第1页 共13页学优高考网！！CBAPGkstk1CBAP20.(本题满分12分)解：座位号Gkstk 班级 座号 姓名 准考证号 班级 座号 姓名 准考证号 CBAP福建省厦门一中届高三上学期期中考试（数学理）
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