中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。3、不可以使用计算器。4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数，，则在复平面内对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设全集是实数集则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A．B． C．D．【答案】A【解析】3．已知平面向量，，若∥则等于( )A．B．C．D．4．定义某种运算，运算原理如上图所示，则式子的值为（ ）A．4B．8C．11D．135．把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）A． B． C． D． 【答案】B【解析】试题分析：取的中点，连结，，∵平面⊥平面，∴，∴直角是三棱锥的侧视图，∵=，∴==，∴的面积，故选：B．考点： 1.简单空间图形的三视图6．下列四个命题中，正确的有①两个变量间的相关系数越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题：“，”的否定：“，”；③用相关指数来刻画回归效果，若越大，则说明模型的拟合效果越好；④若，，，则．A．①③④B．①④C．③④D．②③7．对、，运算“”、“”定义为：=，=，则下列各式其中不恒成立的是（ ）⑴⑵⑶⑷A．⑴、⑶B．⑵、⑷C．⑴、⑵、⑶D．⑴、⑵、⑶、⑷ 8. 已知函数满足，且时，，则当时，与的图象的交点个数为( ) A．13B．12C．11D．10【答案】C【解析】试题分析：∵满足，且x时，，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．已知函数，则 . 【答案】【解析】试题分析：考点：10．如图，一不规则区域内，有一边长为米的正方形，向区域内随机地撒颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 375 颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.（用分数作答）11．在二项式的展开式中，含的项的系数是 ．【答案】10【解析】试题分析：含的项是第三项，系数为.考点： 二项式12．已知,,则 .13．已知数列为等差数列，若，，则 .14．如图, ，且，若，（其中），则终点落在阴影部分（含边界）时，的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：如图所示①当点P是线段AB的中点时，过点P分别作PE∥OB，PF∥OA，交点分别是点E，F，则点E，F分别是OA，OB的中点．由平行四边形法则可得： ，又，（其中），∴．当点P位于线段AB上其它位置时，也有此结论．②当点P是线段MN的中点时，连接PA，PB．∵AB∥MN，且2OA=OM，∴B点是线段ON的中点．由平行四边形法则可得：，此时，当点P位于线段AB上其它位置时，也有此结论．综上可知：．又，令，化为，可知此直线过定点P（?1，?1）．由约束条件，作出可行域：作直线l：y=x，把此直线上下平移，当l经过点A（2，0）时，t取得最小值，当点l经过点B（0，2）时，t取得最大值．∴．∴，即的取值范围是．故答案为：．考点： 1、平面向量运算和性质；2.线性规划三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分12分）设平面向量，，函数。（Ⅰ）求函数的值域和函数的单调递增区间;（Ⅱ）当,且时,求的值.根据求出的值域；②根据正弦函数的单调区间为，列出不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围即为的递增区间；（Ⅰ） 函数的值域是；………………………………………………（5分）令，解得………………（7分）所以函数的单调增区间为.……………………（8分）（Ⅱ）由得,因为所以得,………………………（10分）……………………………………………………………………（12分）.考点：1. 正弦函数的定义域和值域、正弦函数的单调性；2. 三角函数的恒等变换及化简求值；3. 平面向量数量积的运算.16．(本题满分12分)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（I）估计这次测试数学成绩的平均分；（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望． ∴∴变量的分布列为：0123P …………（10分） …………（12分） 解法二. 随机变量满足独立重复试验,所以为二项分布, 即………（10分） …………（12分）.考点： 1.离散型随机变量的期望与方差；2.频率分布直方图；3.离散型随机变量及其分布列．17．（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面，，.是的中点，（Ⅰ）求证：平面⊥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】试题分析：法一（Ⅰ）证明平面PDC内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线PA，AD，即可证明CD⊥平面PAD，推出平面PDC⊥平面PAD；（Ⅲ平面AEC的法向量是，求出，利用，求出直线CD与平面AEC所成角的正弦值．因为是的中点，所以. ………………………（8分）而，由勾股定理可得. ………………………（9分）. ………………………（10分）（Ⅲ）延长，过作垂直于，连结，解法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则(0，0，0) , (2，0，0), (2，4，0) , (0，4，0) ，(0，2，1) , (0，0，2) . ……（2分）∴＝(2，0，0) , ＝(0，4，0) , ＝(0，0，2) , ＝(－2，0，0) ,＝(0，2，1) , ＝(2，4，0) . 　　 ……………………（3分）（Ⅰ）, .又, . ………………………（5分）, , 而,∴平面⊥平面.　………（7分）考点： 1.平面与平面垂直的判定；2.异面直线及其所成的角；3.直线与平面所成的角．18．（本小题满分14分） 数列{}的前n项和为，．（I）设，证明：数列是等比数列；（II）求数列的前项和；（Ⅲ）若，数列的前项和，证明：．②， ……………（5分）②-①得：， ……………（7分） .……………（9分）19. 已知函数，.（I）若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；（II）设函数，求证：试题解析：（Ⅰ）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．………（1分）由得．①当时，．此时在上单调递增． 故，符合题意．…（3分）②当时，．当变化时的变化情况如下表： ……………………（4分）单调递减极小值单调递增由此可得，在上， ．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是． ………………（7分）（Ⅱ），又， ……………………（10分）20．（本题满分14分）已知函数，（其中为常数）；（I）如果函数和有相同的极值点，求的值；（II）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．（III）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围．5个实根两两不相等．g（x）-1=0有2个不同的实根，只需满足?a＞1或a＜?3；有3个不同的实根，从而结合导数进行求解.试题解析：（I），则，令，得或，而在处有极大值，∴，或；综上：或． ………………………………（3分）因为（）（）要同时满足，故；（注：也对）…………………（11分） www.gkstk.com 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 2 2 每天发布最有价值的高考资源www.gkstk.com【解析版】广东省中山市2014届高三上学期期末考试试题（数学 理）
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