第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合,,则A． B． C. D. 3.抛物线的准线为，则抛物线方程为A． B． C. D. 【答案】A【解析】试题分析：∵抛物线的准线为，∴，∴.考点：1.抛物线的标准方程；2.抛物线的准线方程.4.某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为 A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：∵符合，所以选B.考点：程序框图.5.等差数列中，，则该数列前13项的和是A．13 B．26 C．52 D．156 6.下列说法正确的是( )A．若为假，则均为假.B．若，则.C．若，则的最小值为4.D．线性相关系数越接近1，表示两变量相关性越强.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A． B． C． D．考点：三视图.9.如图所示，一游泳者自游泳池边上的点，沿方向游了10米,,然后任意选择一个方向并沿此方向继续游，则他再游不超过10米就能够回到游泳池边的概率是( )A． B． C． D．10.若函数在上单调递减，则可以是A． B． C． D．考点：1.双曲线的标准方程；2.双曲线的离心率.12.若直角坐标平面内两点满足条件：①点都在的图象上；②点关于原点对称，则对称点对是函数的一个“兄弟点对”(点对与可看作一个“兄弟点对”)已知函数 则的“兄弟点对”A．2 B．3 C．4 D．5，则点关于原点的对称点为，于是，，只需判断方程根的个数，即与图像的交点个数，函数图像如下：所以的“兄弟点对”考点：1.函数的值；2.新定义题；3.函数的零点.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.平面向量与的夹角为60°，,则等于 15.已知三角形所在平面与矩形所在平面互相垂直，，，若点都在同一球面上，则此球的表面积等于 【解析】试题分析：过外心(中点)作垂直于平面的直线，过外心作面，则与的交点为锥体的外接球，球心为，由条件，则，∴，∴.考点：球的表面积.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知等比前项和为,且满足,(Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）求的值.【答案】（1）；（2）143.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和公式、数列求和及对数式的运算等数学知识，考查思维能力、分析问题解决问题的能力以及计算能力.第一问，法一：利用等比数列的前n项和公式，将和展开，组成方程组，两式相除，解出和，写出通项公式；法二：利用等比数列的通项公式，又因为，，展开，相除，解出和，写出通项公式；第二问，先将第一问的结论代入，化简，得到，所以可以证出数列为等差数列，所以利用等差数列的前n项和公式进行求和化简.18.（本小题满分12分）如图，在中，已知是边上的一点， (Ⅰ) 求的值；（Ⅱ）求的值。【答案】（1）；（2）.19.（本小题满分12分）某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：喜欢不喜欢合计大于40岁2052520岁至40岁102030合计302555()判断是否有99.5％的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？()用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6作进一步调查，将这6市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1“大于40岁”的市民和1“20岁至40岁”的市民的概率．下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中）的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查实际问题中的独立性检验、随机事件的概率、分层抽样等数学知识，考查计算能力，综合分析问题解决问题的能力.第一问，根据已知的表格读出的值，利用的公式计算，再与作比较，得到概率值判断相关性；第二问，先用分层抽样得出抽取的6人中“大于40岁”和“20岁至40岁”的分别多少人，用字母代表，在这6人中选2人，所有情况可以用字母一一列出共15种，其中恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的情况有8种，所以概率为.共15个 ……………9分其中恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的事件有共8个所以恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的概率为 …………12分考点：1.独立性检验；2.随机事件的概率；3.分层抽样.20.（本小题满分12分）如图所示，矩形中，，，，且交于点.(Ⅰ)求证：求三棱锥的体积．【答案】（1）证明过程详见解析；（2）.∵⊥平面，∴.而，∴是的中点，在中，，∴∥平面.21.（本小题满分12分）设函数(Ⅰ) 当时，求的单调区间；（Ⅱ）若当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）的单增区间为，；单减区间为；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算以及利用导数研究函数的单调性和最值以及恒成立问题，考查函数思想，分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，将代入得到具体的函数解析式，利用为增函数，为减函数，解不等式求出函数的单调区间；第二问，化简解析式，由于，所以只需恒成立即可，所以设出新函数，求导，判断的取值范围，求出函数的最小值，令最小值大于等于0，判断符合题意的的取值范围.试题解析：（1）当时，， ………………………………2分令得；令得所以的单增区间为，；单减区间为 …………………5分考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.恒成立问题；3.利用导数研究函数的最值.22.（本小题满分12分）已知点分别是椭圆的左、右焦点, 点椭圆上.(Ⅰ)求椭圆的方程;设直线若、均与椭圆相切,试探究在轴上是否存在定点,点到的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.；（2）满足题意的定点存在,其坐标为或，由于点在椭圆上，得到方程，又因为三个参量的关系得，联立，解出，从而得到椭圆的方程；法二：利用椭圆的定义，，利用两点间的距离公式计算得出的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线与椭圆联立，由于它们相切，所以方程只有一个根，所以，同理直线与椭圆联立得到表达式，假设存在点，利用点到直线的距离，列出表达式，将代入整理，使得到的表达式，解出的值，从而得到点坐标.前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的恒成立 则,解得; 综上所述,满足题意的定点存在,其坐标为或 河北省邯郸市届高三上学期第二次模拟考试数学（文）试题
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