一、向量的数乘运算
计算下列各式：
(1)4(a+b)-3(a-b);
(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c);
(3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).
思路分析：利用向量的线性运算律计算.
解：(1)4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b.
(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c)
=3a-6b+3c-2a-b+3c=a-7b+6c.
(3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)
=a-b-a-b+a+b
=a+b
=0·a+0·b=0+0=0.
计算：(1)3(6a+b)-9;
(2)-2;
(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
解：(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.
(2)原式=-a-b
=a+b-a-b=0.
(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号里面的，再算中括号里面的，将相同的向量看作同类项进行合并.
二、向量共线条件的应用
已知向量e1和e2不共线.
(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求证：A，B，D三点共线.
(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线，试确定实数k的值.
思路分析：(1)要证A，B，D三点共线，可证，共线(或与共线等);(2)当ke1+e2与e1+ke2共线时，由向量共线的条件知必有ke1+e2=λ(e1+ke2)，从而求得k的值.
(1)证明：∵=e1+e2，
=+=2e1+8e2+3e1-3e2
=5(e1+e2)=5，
∴∥.又∵AB∩BD=B，
∴A，B，D三点共线.
(2)解：∵ke1+e2与e1+ke2共线，
∴存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2)，
则(k-λ)e1=(λk-1)e2.
由于e1与e2不共线，
只能有
则k=±1.
已知向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使d=λa+μb与c共线?
解：∵d=λa+μb
=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)
=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2，
要使d与c共线，则应存在实数k，使d=kc，
即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2，
∴∴λ=-2μ.
故存在这样的实数λ，μ，只要λ=-2μ，就能使d与c共线.
1.若b=λa(λ∈R)，则b与a共线.由此可以判断向量共线问题.若b与a(a≠0)共线，则必存在唯一实数λ，使b=λa.据此可以求两个共线向量中的系数问题.
2.用向量证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得a=λb(a，b为这三点构成的其中任意两个向量).证明步骤是先证明两个向量共线，然后再由两个向量有公共点，证得三点共线.
三、向量线性运算的应用
=a，=b为边的平行四边形.又BM=BC，CN=CD，试用a，b表示，，.
思路分析：利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及减法的三角形法则对向量进行分解，同时结合向量的数乘运算将未知向量用a，b表示.===(-)=(a-b)，
∴=+=b+a-b=a+b，
==.
∴=+=+=
=(+)=(a+b)=a+b.
=-=(a+b)-a-b=a-b.1.已知在△ABC中，D是BC边的中点，用向量，表示向量为________.
答案：+
解析：∵=，
∴-=-，2=+.
∴=+.
2.如图所示，点E在△ABC的边BC上，且CE=3EB，设=a，=b，用a，b表示.
解：∵CE=3EB，
∴=.
又∵=-，
∴=+=+
=a+(b-a)=a+b.
在平面几何图形中进行向量运算时，一般要把所求向量放在三角形或平行四边形中，利用向量加减的三角形法则或平行四边形法则把所求向量表示出来，同时，注意平面几何中一些定理的应用.
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1.下列计算正确的数目是( )
①(-3)·2a=-6a ②2(a+b)-(2b-a)=3a ③(a+2b)-(2b+a)=0
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：C
解析：①②正确，③错误，应有(a+2b)-(2b+a)=0.
2.化简为( )
A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b
答案：C
解析：原式=a+b+a-a+b=a+b.
3.下面向量a，b共线的有( )
①a=2e1，b=-2e2;
②a=e1-e2，b=-2e1+2e2;
③a=4e1-e2，b=e1-e2;
④a=e1+e2，b=2e1-2e2.(e1，e2不共线)
A.②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
答案：A
解析：①中a与e1共线，b与e2共线，而e1，e2不共线，所以a与b不共线;
②中b=-2a，故a与b共线;
③中b=a，故a与b共线;
④中a与b不共线，因为若a与b共线，则必存在实数λ，使e1+e2=λ(2e1-2e2)，于是λ无解.故a与b不可能共线.
4.已知平行四边形ABCD中，=a，=b，其对角线交点为O，则等于( )
A.a+b B.a+b C.(a+b) D.a+b
答案：C
解析：+=+==2，所以=(a+b)，故选C.
5.已知向量a与b不共线，m=a-b，n=xa+3b，若m与n共线，则x的值等于__________.
答案：-6
解析：依题意存在实数λ，使m=λn，
即=λ(xa+3b)，
即于是λ=-，x=-6.
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