第I卷(共60分)
一、(每小题5分,共60分)
1.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是( ).
A. B. C. D.
2.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ).
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
3. 是第四象限角, , ( )
A B C D
4. 的值是( )
A 4 B 1 C D
5.如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图,根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( ).
A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C.三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台 D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
6.直线3x+4y-5=0与圆2x2+2y2—4x—2y+1=0的位置关系是( ).
A.相离 B.相切
C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
7.过点P(a,5)作圆(x+2)2+(y-1)2=4的切线,切线长为 ,则a等于( ).
A.-1 B.-2 C.-3 D.0
8.圆A : x2+y2+4x+2y+1=0与圆B : x2+y2—2x—6y+1=0的位置关系是( ).
A.相交 B.相离 C.相切 D.内含
9. 设函数 ,则 =( )
A.在区间 上是增函数 B.在区间 上是减函数
C.在区间 上是增函数 D.在区间 上是减函数
10.设D¬、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且 则 与 ( )
A.互相垂直 B.同向平行
C.反向平行 D.既不平行也不垂直
11.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角余弦值是( ).
A. B. C. D.0
12.正六棱锥底面边长为a,体积为 a3,则侧棱与底面所成的角为( ).
A.30° B.45° C.60° D.75°
二、填空题(共20分)
13.已知函数 是偶函数,且 ,则 的值 为 .
14.下面有五个命题:
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是 .
②终边在y轴上的角的集合是{a|a= }.
③在同一坐标系中,函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数 的图像向右平移 得到 的图像.
⑤函数 在 上是单调递减的.
其中真命题的序号是 .
15.已知函数 的图象与直线 的交点中最近的两个交点的距离为 ,则函数 的最小正周期为 。
16.若圆B : x2+y2+b=0与圆C : x2+y2-6x+8y+16=0没有公共点,则b的取值范围是________________.
17.已知△P1P2P3的三顶点坐标分别为P1(1,2),P2(4,3)和P3(3,-1),则这个三角形的最大边边长是__________,最小边边长是_________.
19.(12分)求斜率为 ,且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程.
20. (12分)已知函数f(x)=sin( x+ ) ( >0,0≤ ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M( ,0)对称,且在区间[0, ]上是单调函数,求 的值。
21. (17分)已知函数 的图象,它与y轴的交点为( ),它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 .
(1)求函数 的解析式;
(2)求这个函数的单调递增区间和对称中心.
(3)该函数的图象可由 的图象经过怎样的
的平移和伸缩变换得到?
22.(17分)如图所示,正四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为 .
(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小;
(2)若E是PB的中点,求异面直线PD与AE所成角的正切值;
(3)问在棱AD上是否存在一点F,使EF⊥侧面PBC,若存在,试确定点F的位置;若不存在,说明理由.
16.-4
18、 ,值域是
19.解:设所求直线的方程为y= x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=- b,由已知,得 =6,即 b2=6, 解得b=±3.
故所求的直线方程是y= x±3,即3x-4y±12=0.
20.
21、解:(1)由题意可得 ,由在 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 , 得 ,∴ 从而
又图象与 轴交于点 ,∴ 由于 ,∴
函数的解析式为
(2) 递增区间: 对称中心:
(3) 将函数 的图象向左平移 个单位,,再将所得函数的图象纵坐标不变,横坐标伸长为原来的两倍,最后将所得函数的图象横坐标不变,纵坐标伸长为原来的3倍得到函数
的图象 。
22.解:(1)取AD中点M,连接MO,PM,
依条件可知AD⊥MO,AD⊥PO,
则∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角.
∵ PO⊥面ABCD,
∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角.
∴tan∠PAO= .
设AB=a,AO= a,
∴ PO=AO•tan∠POA= a,
tan∠PMO= = .
∴∠PMO=60°.
(2)连接AE,OE, ∵OE∥PD,
∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角.
∵AO⊥BD,AO⊥PO,∴AO⊥平面PBD.又OE 平面PBD,∴AO⊥OE.
∵OE= PD= = a,
∴tan∠AEO= = .
(3)延长MO交BC于N,取PN中点G,连BG,EG,MG.
∵BC⊥MN,BC⊥PN,∴BC⊥平面PMN.
∴平面PMN⊥平面PBC.
又PM=PN,∠PMN=60°,∴△PMN为正三角形.∴MG⊥PN.又平面PMN ∩平面PBC=PN,∴MG⊥平面PBC.
取AM中点F,∵EG∥MF,∴MF= MA=EG,∴EF∥MG.
∴EF⊥平面PBC.点F为AD的四等分点.
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