2019高一数学竞赛试题
一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)
1.已知 , 为集合I的非空真子集，且 , 不相等，若 ，则
( )
A. B. C. D.
2.与直线 的斜率相等，且过点(-4,3)的直线方程为 ( )
A. = 32 B. =32
C. =32 D. =-32
3. 已知过点 和 的直线的斜率为1，则实数 的值为 ( )
A.1 B.2 C.1或4 D.1或2
4. 已知圆锥的表面积为6 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 ( )
A. B.2 C. D.
5. 在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为 ( )
①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直;
②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β;
③若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l⊥α;
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线;
A.3 B.2 C.1 D.0
6. 已知函数 定义域是 ，则函数 的定义域是 ( )
A. B. C. D.
7. 直线在同一坐标系中的图形大致是图中的 ( )
8. 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为 ，体积为 ，若它们的侧面积相等且 ，则 的值是 ( )
A. B. C. D.
9.设函数 ，如果 ，则 的取值范围是 ( )
A. 或 B. C. D. 或
10.已知函数 没有零点，则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
11.定义在R上的偶函数 满足：对任意的 ，有 .则 ( )
A. B.
C. D.
12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各个面中，直角三角形的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)..
13.已知增函数 ，且 ，则 的零点的个数为
14. 已知 在定义域 上是增函数，则 的取值范围是
15. 直线 恒过定点
16. 高为 的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为
三、解答题(17题10,其余每题12分)
17.已知一个空间组合体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，请说出该组合体由哪些几何体组成，并且求出该组合体的表面积和体积
18.已知偶函数 的定义域为 ,且在 上是增函数， 试比较 与 的大小。
19. 已知方程 + +6- =0( ).
(1)求该方程表示一条直线的条件;
(2)当 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在?求出这时的直线方程;
(3)已知方程表示的直线 在 轴上的截距为 -3，求实数 的值;
20. 已知函数 ，判断函数的奇偶性，单调性，并且求出值域
21. 如图，长方体 ? 中， ， ， ,点 分别在 上， .过点 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(说明画法和理由)
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
22. 如图，三棱锥P-A BC中，平面PAC 平面ABC， ABC= ，点D、E在线段AC上， 且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//面PBC.
(1)证明：EF// BC.
(2)证明：AB 平面PFE.
(3)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.
2019高一数学竞赛试题答案
一、ACACD,BCBDA,DB
13、1个 14、 15、(-2,3) 16、1
17、解：解：由一个半球和一个圆柱组成的…2分
表面积是： …6分
体积是： … 10分
18、解： …5分
因为函数为偶函数，且在 上是增函数，所以在 是减函数…8分
所以 …12分
19、解：解：(1)当x，y的系数不 同时为零时，方程表示一条直线，
令m2?2m?3=0，解得m=-1或m
m=3;
令2m2+m-1=0，解得m=-1或m= .
所以方程表示一条直线的条件是m∈R，且m≠-1.…4分
(2)由(1)易知 ，当m= 时，方程表示的直线的斜率不存在，此时的方程为x= ，它表示一条垂直于 轴的直线.…8
(3)依题意，有 =-3，所以3m2-4m-15=0. 所以m=3，或m=- ，由(1)知所求m=- .…12分
20、解：函数的定义域是 ，…2分
因为 ，所以函数是 奇函数。 …4分 ，设 ，则
当 时， ，所以 ，所以在 上是减函数; …8分
当 时， ，所以 ， 所以在 上也是减函数。
由 ， ，所以 或 …12分
21、解：
(Ⅰ)交线围成的正方形EHGF如图：在面ABCD中做HG平行于BC,连接EH,FG且HB=GC=6，则E F平行且等于HG，所以四边形EFGH是平行四边形，EF平行于 ,所以EF垂直面 ,所以EF垂直于EH,且经过计算可知EH=FG=10，所以EFGH是正方形 …6分
(Ⅱ)作EM⊥AB,垂足为M，则AM= A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8.
因为EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10. 于是MH= .
因为长方体被平面 分为两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为 ( 也正确)…12分
22、(1)证明： EF//面PBC.EF 面ABC, 面PBC 面ABC=BC,
所以根据线面平行的性质可知EF// BC. …4分
(2)由DE=EC,PD=PC可知：E为等腰 PDC中D C边的中点，
故PE AC,又平面PAC 平面ABC，
平面PAC 面ABC=AC,PE 平面PAC, PE AC,
所以PE 平面ABC，
所以PE AB,因为 ABC= ，EF// BC.所以AB EF
所以AB 面PEF…8分
(3)设BC= ，在直角三角形ABC中，AB= ， ， EF// BC知 AFE相似于 ABC，所以
由AD= AE, ，
从而四边形DFBC的面积为 ，
由(2)可知PE是四棱锥P-DFBC的高，PE= ，
所以V= 所以 ，所以 或者 ，
所以BC=3或BC= …12分
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