2013年沈阳市高中一年级教学质量监测数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至6页. 满分150分. 考试时间为120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号用2B铅笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域。2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效。3.考试结束后，考生将答题卡交回。第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的BD．BA2．若过点和的直线与直线2x+y-1=0平行，则实数m的值为（ ）A．0B．C．2D．103．在斜四棱柱的四个侧面中，矩形的个数最多有（ ）个A．1B．4C．3D．24．圆O1∶x2+y2-2x=0与圆O2∶x2+y2-4y=0的位置关系是（ ）A．相离B．相交C．外切D．内切5．如果一个几何体的主（正）视图，左（侧）视图，俯视图都是全等的图形，那么称这个几何体为“完美几何体”. 在下面选项中，可以由“完美几何体”组成的选项是（ ）A．正方体、球、侧棱两两垂直且相等的正三棱锥B．正方体、球、各棱长都相等的正三棱柱C．球、高和底面半径相等的圆柱、高和底面半径相等的圆锥D．正方体、正四棱台、棱长相等的平行六面体6．若直线l1∶(a-2)x+3y+a=0，l2∶ax+(a-2)y-1=0相互垂直，则实数a的值为（ ）A．-3B．2或-3C．2D．-2或37．已知函数. 若实数x0是函数的零点，且0＜x1＜x0，则的值（ ）A．恒为正B．等于零C．恒为负D．正负无法确定8．已知圆锥的底面半径为2，高为6. 若一个高为3的圆柱内接于该圆锥，则此圆柱的侧面积为（ ）A．3πB．4πC．5πD．6π9．若函数在区间内恒有，则f (x)的单调增区间为（ ） A．B．C．D．10．当a为任意实数时，直线恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程是为（ ）A． B． C．D．11．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数. 若，则的解集为（ ）A. B. C. D. 12．已知函数f (x)满足f (p+q)= f (p) f (q)，f (1)= 3，则++++的值为（ ）A.15B. 30C. 75D. 60 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．将试题答案用黑色笔写在答题纸上，答在试卷上无效.2．答第Ⅱ卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题本大题共4小题，每题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中相应位置处13．已知函数. 若=4，则x= .14．若过球面上三点A，B，C的截面与球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=3cm，则该球的体积为 .15．已知空间两点. 若Z轴上有一点C，它与A,B两点的距离相等，则C点的坐标为 .16．若函数是R上的偶函数，则实数a= .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．(本小题满分10分)在△ABC中，顶点，AB边上中线所在直线方程为x-y+1=0，AC边上中线所在的直线方程为y-2=0，求△ABC各边所在直线方程.18．(本小题满分12分)函数是定义在上的奇函数，且.（1）求实数a,b的值；（2）用定义证明函数在上是增函数；（3）解关于x的不等式.19．(本小题满分12分)如图所示，三棱锥S-ABC中，SA⊥AC，AC⊥BC，M为SB的中点，D为AB的中点，且△AMB为正三角形.（1）求证：DM∥平面SAC；（2）求证：平面SBC⊥平面SAC；（3）若BC=4，SB=20，求三棱锥D-MBC的体积.20．(本小题满分12分)国务院“十二五”规划通知中强调节能减排，把能源消耗强度降低和主要污染物排放总量减少确定为国民经济和社会发展的约束性指标. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层. 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米隔热层建造成本为6万元. 该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：厘米)之间满足关系. 若不建隔热层，每年的能源消耗费用为8万元. 设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（1）求k的值及的表达式；（2）已知函数有如下性质：在上为减函数，在为增函数. 请你结合此结论给出函数在定义域内的单调区间(不要求证明)，并指出当隔热层为多少时，函数取得最小值，最小值是多少？21．(本小题满分12分)已知圆C的方程为，A点坐标，过点A作圆C的切线有两条.（1）求实数a的取值范围；（2）当过A的两条切线互相垂直时，求实数a的值及两条切线的方程.22．(本小题满分12分)已知函数，，.（1）若关于x的方程只有一个实数解，求a的取值范围；（2）若时，不等式恒成立，求a的取值范围；（3）若，求函数在区间上的最大值. 2013年沈阳市高中一年级教学质量监测数学试题参考答案和评分标准一、选择题(每小题5分，共60分)1.A 2.B 3.D 4.B 5.A 6.B 7.A 8.D 9.D 10.C 11.D 12.B二、填空题(每小题5分，共20分)13.；14.(不写单位扣2分)；15 .；16.±3.三、解答题(共6小题，共70分)17. ∵B点在直线y=2上，∴可以设B. ………………………………………… (2分)∵AB边上中线所在直线方程为x-y+1=0，∴AB中点D在直线x-y+1=0上，∴，∴a=2，B. ……………………………………………… (4分)∵AB边上中线CD所在直线方程为x-y+1=0，∴可以设C. ……………………………………………………………… (6分)∵AC的中点在直线y=2上，∴，∴m=0，∴C. ………………………………………………… (8分)AB：x+y-4=0，AC：2x-y+1=0，BC：x-2y+2=0. ……………………………… (10分)18. （1）∵函数是定义在上的奇函数，∴ =0，∴ ==b=0，∴=. …………………… (2分)∵，∴，∴a2=1，a=±1. ………………… (4分)（2）证明：设x1，x2是内的任意两个实数，且x1＜x2.. ……………………………………………………… (6分)∵，，∴，函数在上是增函数. ……………… (8分)（3）∵，∴，∴，……………………………………………………… (10分)∴，∴，∴. ………………………… (12分)19. （1）在三棱锥S-ABC中，由M，D分别为SB，AB的中点知MD∥SA，∵SA面SAC，，∴MD∥面SAC. ……………………… (4分)（2）∵△AMB为正三角形，MD为AB边上的中线，∴MD⊥AB，MD∥SA，∴SA⊥AB.∵SA⊥AC ，AB∩AC=A，∴SA⊥面ABC，∴SA⊥BC，又∵BC⊥AC，AC∩BC=C，∴BC⊥面SAC.又∵BC面SBC，∴面SBC⊥面SAC. …………………………………… (8分)（3）∵由已知易求AC=，MD=，∴. …………… (12分)20. （1）∵每厘米隔热层建造成本为6万元，能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x (单位：厘米)满足关系，不建隔热层，每年的能源消耗量为8万元，∴，k=40，………………………………… (2分)∴. ……………………… (4分)（2）令t=3x+5，则，.∵函数在上为减函数，在为增函数，∴，在上为减函数，在为增函数. (7分)∵为增函数，∴函数的单调递减区间为，递增区间为.……………… (9分)∴x=5(cm)时，(万元). ……………………………………… (11分)答：隔热层厚度为5cm时，总费用达到最小，最小值70万元. … (12分)21．（1）∵圆C：，∴，∴. …………………………………………… (2分)又∵过A作圆C的切线有两条，∴点A在圆C外，∴，或. ……………………… (4分)∴或. ………………………………………… (6分)(说明：如果缺少构成圆的条件，即没有求出，那么要扣除2分)（2）∵过A的两条切线互相垂直，∴.，∴. ……………………………………… (8分)设过A的切线方程为y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0，∵圆心C(-1,2)，∴，∴，∴k=±1. …………… (10分)∴过A的切线方程为和. ………………………… (12分)22. 解：（1）方程，即，变形得，显然，已是该方程的根，…………… (1分)欲原方程只有一解，即要求方程，有且仅有一个等于1的解或无解，. ………………………………………………………………………… (3分)（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，①当时，（*）显然成立，此时；……………………………… (4分)②当时，（*）可变形为≤， 令 ………………………………………… (5分)∵当时，，当时，，故此时. 综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤-2. …………………………… (7分)（3）∵= …………………………………………… (8分)①当＞1，即a＞2时，结合图形可知h在上递减，在上递增，且，且，此时在上的最大值为3a+3. ……………………………… (9分)②当0≤≤1，即0≤a≤2时，结合图形可知在，[-,1]上递减，在，上递增，且h=3a+3,h=a+3，h()=+a+1，∵，，∴h(x)在上的最大值为3a+3. ……………………………………… (10分)③当-1≤＜0，即-2≤a＜0时，结合图形可知h(x)在，上递减，在，[1,2]上递增，且，，∵，，∴h(x)在上的最大值为h=a+3. ……………………………… (11分)综上，当a≥0时，h在上的最大值为；当-2≤a＜0时，h在上的最大值为a+3. …………………… (12分)辽宁省沈阳市2013年高一教学质量监测统考数学试题
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