模块综合能力检测题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷非两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(09•全国Ⅰ文)已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝( )
A.711 B．－711
C.713D．－713
[答案] B
[解析] ∵tanβ＝3，tanα＝4，
∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα•tanβ＝4＋31－4×3＝－711.
2．(09广东文)函数y＝2cos2x－π4－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为π2的奇函数
D．最小正周期为π2的偶函数
[答案] A
[解析] 因为y＝2cos2x－π4－1＝cos2x－π2＝sin2x为奇函数，T＝2π2＝π，所以选A.
3．(09•山东文)将函数y＝sin2x的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝2cos2xB．y＝2sin2x
C．y＝1－sin(2x＋π4)D．y＝cos2x
[答案] A
4．(09•浙江文)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A．(79，73)
B．(－73，－79)
C．(73，79)
D．(－79，－73)
[答案] D
[解析] 设c＝(，n)，∵c＋a＝(＋1，n＋2)，a＋b＝(3，－1)，
∴由(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)得：
－3(＋1)－2(n＋2)＝03－n＝0，解得＝－79，n＝－73.
故选D.
5．函数y＝cosx•tanx－π2<x<π2的大致图象是( )
[答案] C
[解析] ∵y＝cosx•tanx
＝－sinx －π2<x<0sinx 0≤x<π2，故选C.
6．在△ABC中，sinA＝35，cosB＝513，则cosC的值为( )
A．－5665
B．－1665
C.1665
D.5665
[答案] C
[解析] ∵cosB＝513，∴sinB＝1213，
∵sinB>sinA，A、B为△ABC的内角，
∴B>A，∴A为锐角，
∵sinA＝35，cosA＝45，
∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB
＝－45×513＋35×1213＝1665.
7．已知a＝(1,3)，b＝(2＋λ，1)，且a与b成锐角，则实数λ的取值范围是( )
A．λ>－5
B．λ>－5且λ≠－53
C．λ<－5
D．λ<1且λ≠－53
[答案] B
[解析] ∵a与b夹角为锐角，∴a•b＝2＋λ＋3>0，∴λ>－5，
当a与b同向时，存在正数k，使b＝ka，
∴2＋λ＝k1＝3k，∴k＝13λ＝－53，因此λ>－5且λ≠－53.
8．(09•陕西理)若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为( )
A.103
B.53
C.23
D．－2
[答案] A
[解析] ∵3sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－13，
∴原式＝sin2α＋cos2αcos2α＋2sinαcosα＝tan2α＋11＋2tanα＝19＋11－23＝103，故选A.
9．若sin4θ＋cos4θ＝1，则sinθ＋cosθ的值为( )
A．0
B．1
C．－1
D．±1
[答案] D
[解析] 解法一：由sin4θ＋cos4θ＝1知
sinθ＝0cosθ＝±1或sinθ＝±1cosθ＝0，
∴sinθ＋cosθ＝±1.
解法二：∵sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝1，
∴sin2θcos2θ＝0，∴sinθcosθ＝0，
∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝1，
∴sinθ＋cosθ＝±1.
10．a与b的夹角为120°，a＝2，b＝5，则(2a－b)•a＝( )
A．3
B．9
C．12
D．13
[答案] D
[解析] a•b＝2×5×cos120°＝－5，
∴(2a－b)•a＝2a2－a•b＝8－(－5)＝13.
11．设e1与e2是两个不共线向量，AB→＝3e1＋2e2，CB→＝ke1＋e2，CD→＝3e1－2ke2，若A、B、D三点共线，则k的值为( )
A．－94
B．－49
C．－38
D．不存在
[答案] A
[解析] BD→＝BC→＋CD→＝(－ke1－e2)＋(3e1－2ke2)
＝(3－k)e1－(1＋2k)e2，
∵A、B、D共线，∴AB→∥BD→，
∴3－k3＝－1－2k2，∴k＝－94.
12．(09•宁夏、海南理)已知O，N，P在△ABC所在平面内，且OA→＝OB→＝OC→，NA→＋NB→＋NC→＝0，且PA→•PB→＝PB→•PC→＝PC→•PA→，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A．重心 外心 垂心
B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心
D．外心 重心 内心
(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)
[答案] C
[解析] ∵O，N，P在△ABC所在平面内，且OA→＝OB→＝OC→，
∴O是△ABC外接圆的圆心，
由NA→＋NB→＋NC→＝0，得N是△ABC的重心；
由PA→•PB→＝PB→•PC→＝PC→•PA→得
PB→•(PA→－PC→)＝PB→•CA→＝0，
∴PB⊥CA，同理可证PC⊥AB，PA⊥BC，
∴P为△ABC的垂心．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
[答案] 1－2
[解析] y＝2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x
＝1＋2sin2x＋π4，
∵x∈R，∴yin＝1－2.
14．在▱ABCD中，、N分别是DC、BC的中点，已知A→＝c，AN→＝d，用c、d表示AB→＝________.
[答案] 43d－23c
[解析] d＝AB→＋BN→＝AB→＋12AD→①
c＝AD→＋D→＝AD→＋12AB→②
解①②组成的方程组得AD→＝43c－23d，AB→＝43d－23c.
15．已知点P(sinα＋cosα，tanα)在第二象限，则角α的取值范围是________．
[答案] 2kπ－π4<α<2kπ或2kπ＋π2<α<2kπ＋3π4 k∈Z
[解析] ∵点P在第二象限，∴sinα＋cosα>0tanα<0，
如图可知，α的取值范围是2kπ－π4<α<2kπ或2kπ＋π2<α<2kπ＋3π4 k∈Z.
16．如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则OD→＝________.
[答案] c＋a－b
[解析] OD→＝OC→＋CD→＝OC→＋BA→
＝OC→＋(OA→－OB→)＝c＋a－b.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)(09•湖南文)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tanθ的值；
(2)若a＝b,0<θ<π，求θ的值．
[解析] (1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，
于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝14.
(2)由a＝b知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，
所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，
即sin2θ＋cos2θ＝－1，
于是sin2θ＋π4＝－22.
又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，
所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.
因此θ＝π2，或θ＝3π4.
18．(本题满分12分)(09•重庆文)设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3.
(1)求ω的值；
(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到，求y＝g(x)的单调增区间．
[解析] (1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2
＝2sin(2ωx＋π4)＋2，
依题意得2π2ω＝2π3，故ω＝32.
(2)f(x)＝2sin3x＋π4＋2，
依题意得g(x)＝2sin3x－π2＋π4＋2
＝2sin3x－5π4＋2，
由2kπ－π2≤3x－5π4≤2kπ＋π2 (k∈Z)解得
23kπ＋π4≤x≤23kπ＋7π12 (k∈Z)，
故g(x)的单调增区间为23kπ＋π4，23kπ＋7π12 (k∈Z)．
19．(本题满分12分)(09•陕西文)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R，其中A>0，ω>0，0<φ<π2的周期为π，且图象上一个最低点为2π3，－2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈0，π12时，求f(x)的最值．
[解析] (1)由最低点为2π3，－2得A＝2，
由T＝π得ω＝2πT＝2ππ＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．
由点2π3，－2在图象上得2sin4π3＋φ＝－2
即sin4π3＋φ＝－1，
∴4π3＋φ＝2kπ－π2
即φ＝2kπ－11π6，k∈Z，
又φ∈0，π2，∴k＝1，∴φ＝π6，
∴f(x)＝2sin2x＋π6.
(2)∵x∈0，π12，∴2x＋π6∈π6，π3，
∴当2x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)取得最小值1；
当2x＋π6＝π3，即x＝π12时，f(x)取得最大值3.
20．(本题满分12分)(北京通州市09～10高一期末)已知向量a＝(3cosωx，sinωx)，b＝sin(ωx,0)，且ω>0，设函数f(x)＝(a＋b)•b＋k，
(1)若f(x)的图象中相邻两条对称轴间距离不小于π2，求ω的取值范围；
(2)若f(x)的最小正周期为π，且当x∈－π6，π6时，f(x)的最大值为2，求k的值．
[解析] ∵a＝(3cosωx，sinωx)，b＝(sinωx,0)，
∴a＋b＝(3cosωx＋sinωx，sinωx)．
∴f(x)＝(a＋b)•b＋k＝3sinωxcosωx＋sin2ωx＋k
＝32sin2ωx－12cos2ωx＋12＋k
＝sin2ωx－π6＋12＋k.
(1)由题意可得：T2＝2π2×2ω≥π2.
∴ω≤1，又ω>0，
∴ω的取值范围是0<ω≤1.
(2)∵T＝π，∴ω＝1.
∴f(x)＝sin2x－π6＋12＋k
∵－π6≤x≤π6，∴－π2≤2x－π6≤π6.
∴当2x－π6＝π6，
即x＝π6时，f(x)取得最大值fπ6＝2.
∴sinπ6＋12＋k＝2.∴k＝1.
21．(本题满分12分)(09•江苏文)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求b＋c的最大值；
(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.
[解析] (1)∵a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，
c＝(cosβ，－4sinβ)
∵a与b－2c垂直，∴a•(b－2c)＝a•b－2a•c＝4cosαsinβ＋4sinαcosβ－2(4cosαcosβ－4sinαsinβ)
＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，∴tan(α＋β)＝2.
(2)∵b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)
∴b＋c2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β
＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β，
当sin2β＝－1时，最大值为32，
∴b＋c的最大值为42.
(3)由tanαtanβ＝16得sinαsinβ＝16cosαcosβ
即4cosα•4cosβ－sinαsinβ＝0，∴a∥b.
22．(本题满分14分)(09•福建文)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，φ<π2.
(1)若cosπ4cosφ－sin3π4sinφ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数，使得函数f(x)的图象向左平移个单位后所对应的函数是偶函数．
[解析] 解法一：(1)由cosπ4cosφ－sin3π4sinφ＝0得cosπ4cosφ－sinπ4sinφ＝0，
即cosπ4＋φ＝0.
又φ<π2，∴φ＝π4；
(2)由(1)得，f(x)＝sinωx＋π4.
依题意，T2＝π3.
又T＝2πω，故ω＝3，∴f(x)＝sin3x＋π4.
函数f(x)的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为g(x)＝sin3(x＋)＋π4，
g(x)是偶函数当且仅当3＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，
即＝kπ3＋π12(k∈Z)．
从而，最小正实数＝π12.
解法二：(1)同解法一．
(2)由(1)得，f(x)＝sinωx＋π4.
依题意，T2＝π3.
又T＝2πω，故ω＝3，
∴f(x)＝sin3x＋π4.
函数f(x)的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为g(x)＝sin3(x＋)＋π4.
g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立，
亦即sin－3x＋3＋π4＝sin3x＋3＋π4对x∈R恒成立．
∴sin(－3x)cos3＋π4＋cos(－3x)sin3＋π4
＝sin3xcos3＋π4＋cos3xsin3＋π4，
即2sin3xcos3＋π4＝0对x∈R恒成立．
∴cos3＋π4＝0，
故3＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，
∴＝kπ3＋π12(k∈Z)，
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