武汉外国语学校2015—2014学年度学期期考试试卷本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.. 若角的终边经过点，则的值为（ ）A. B. C. D. 2. （）设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是（ ）A. B. C. D. 3. （）若，则计算所得的结果为（ A ）A. B. C. D. 4. 函数f(x) = x2 + lnx4的零点所在的区间是（ ）A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)）已知，，，，且四边形为平行四边形，则（ ）A. B. C. D. 6. （）若，则（ ）A. B. C. D. 7. （原创）已知函数的图象如图所示，则（ ）A. B. C. D. 8. （）若向量两两所成的角相等，且，则等于（ ）A. B. C. 或 D. 或9．函数的图象（ C ）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线yx对称10. 对于任意不全为的实数，关于的方程在区间内（ C ）A．无实根 B．恰有一实根 C．至少有一实根 D．至多有一实根二、填空题：本大题共小题，每小题5分，共5分.）已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是。12.（）已知，则与垂直的单位向量的坐标是。13.（）若，则的值为。14.（）函数的图象如图所示，其右侧部分向直线无限接近，但永不相交。（1）函数的定义域为，值域为；（2）当时，只有唯一的值与之对应。（错一空扣2分，扣完为止）15.（2015湖南卷）设函数，其中．（1）记集合不能构成一个三角形的三边长，且，则所对应的的零点的取值集合为；（2）若是的三边长，则下列结论正确的是 ①②③ （写出所有正确结论的序号）内的任意，总有成立；②存在实数，使得不能同时成为任意一个三角形的三条边长；③若，则存在实数，使．（提示 ：）（第（1）空2分，第（2）空3分）三、解答题：本大题共小题, 共5分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.，集合为第二象限角，集合为第四象限角．（1）分别用区间表示集合与集合； （2）分别求和．解：（1），；………（6分）（2），．………………………………………（12分）17．（）对于函数（）．（1）探索并证明函数的单调性； （2）是否存在实数使函数为奇函数？若有，求出实数的值，并证明你的结论；若没有，说明理由．解：（1）在上单调递增（用定义证明）；………………………………………（6分）（2）先由求得，再证明恒成立．…………………（12分）18. （原创）已知平面直角坐标系内三点、、在一条直线上，，，，且，其中为坐标原点．（1）求实数，的值；（2）设的重心为，若存在实数，使，试求的大小．解：（1）由于、、三点在一条直线上，则∥，而， ∴，又 ∴，联立方程组解得或．………（6分）（2）若存在实数，使，则为的中点，故．∴，∴，∴………………（12分）19. 已知函数。（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在区间上的最大值及最小值；（3）将函数的图象作怎样的变换可得到的图象？解：（1）令，则的单调递减区间为由得： 又在上为增函数，故原函数的单调递减区间为：……………………………………………………（4分）（2）令，则，当，即时，有最大值，当，即时，有最小值；……………………………（8分）（3）法一：将的图象的横坐标变为原来的，再向右平移个单位。（12分）法二：将的图象向右平移个单位，再将横坐标变为原来的。（12分）20.（）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间小时间的关系为．如果在前个小时消除了的污染物，试求：（1）个小时后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少所需要的时间．（参考数据：）解：（1）由可知，当时，；当时，．于是有，解得，那么所以，当时，∴个小时后还剩的污染物……………………………………………………（7分）（2）当时，有解得…………（13分）∴污染物减少所需要的时间为个小时．21．已知函数．（1）若对于区间内的任意，总有成立，求实数的取值范围；（2）若函数在区间内有两个不同的零点，求：①实数的取值范围； ②的取值范围．，记，易知在上递增，在上递减，∴，∴即可 …………………………………………（5分）（2）①?）时，方程化为，时，无解；时，；?）时，方程化为，，而其中，故在区间内至多有一解；综合?）?）可知，，且时，方程有一解，故；时，方程也仅有一解，令，得，所以实数的取值范围是； ……………………………………………（10分）②方程的两解分别为，，……（14分）四、选做题：本大题分. .22. （原创）已知函数与．（1）对于函数，有下列结论：①是奇函数；②是周期函数，最小正周期为；③的图象关于点对称；④的图象关于直线对称．其中正确结论的序号是__________（直接写出所有正确结论的序号）（2）对于函数，求满足的的取值范围；（3）函数的值域，函数的值域，试判断集合之间的关系．①③④；…………………………………………………………………………………（3分）（2）或 ；…………（6分）（3）时取得等号，但是当时，，此时，所以，故，即；，当且仅当时取得等号，此时，所以，即；由此可知，．湖北省武汉外国语学校2015—2015学年度高一上学期期末考试数学试题
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