2.2.1.1对数的概念
一、内容及其解析
(一)内容:1、理解对数的概念;
2、能够熟练进行对数式与指数式的互化;
3、会根据对数的概念求一些特殊对数式的值;
(二)解析:1、由指数式引出对数式的概念,区分指数式与对数式子中各自的名称及读法;
2、能熟练对数式与指数式之间的互化,
3、会根据对数的概念求一些特殊对数式的值。
二、目标及其解析
(一)目标:
1.理解对数的概念,能够进行对数式与指数式的互化;
2.渗透应用意识,培养归纳思维能力和逻辑推理能力,提高数学发现能力;
3.会求一些特殊的对数式的值。
(二)解析:
1.理解对数的概念就是指:一是实际的需要;二是人为规定的一种新的表
示数的符号。
2.熟练进行对数式与指数式的互化就是指:一是弄清楚对数与指数,对数
式与指数式的含义;二是理解对数式与指数式的互化的实质;三是要把这种互化
提升为一种方法,为我们以后解题奠定基础。
3.会求一些特殊的对数式的值就是指能够熟练利用: 和对数恒等式。
三、问题诊断分析
对数概念的理解中学生存在问题,所以要结合具体的实例,指出为了解决实际问题,引入对数的概念,体现了数学于实际的生活,并服务于实际的生活。
四、过程设计
(一)复习引入:
1.庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭(1)取4次,还有多长?(2)取多少次,还有0.125尺?
2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍?
抽象出:1. =?, =0.125 x=? 2. =2 x=?
也是已知底数和幂的值,求指数你能看得出吗?怎样求呢?
(二)新授内容:
定义:一般地,如果 的b次幂等于N, 就是 ,那么数 b叫做 以a为底 N的对数,记作 ,a叫做对数的底数,N叫做真数
例如: ;
;
探究:⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 )
⑵ ,
∵对任意 且 , 都有 ∴
同样易知:
⑶对数恒等式
如果把 中的 b写成 , 则有
⑷常用对数:我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N的常用对数 简记作lgN
例如: 简记作lg5 ; 简记作lg3.5.
⑸自然对数:在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数 简记作lnN
例如: 简记作ln3 ; 简记作ln10
(6)底数的取值范围 ;真数的取值范围
(三)合作探究,精讲点拨
探究一:指对互化
例1将下列指数式写成对数式:(本第87页)
(1) =625 (2) = (3) =27 (4) =5.73
解析:直接用对数式的定义进行改写.
解:(1) 625=4; (2) =-6;
(3) 27=a; (4)
点评:主要考察了底真树与幂三者的位置.
变式练习1: 将下列对数式写成指数式:
(1) ; (2) 128=7;
(3)lg0.01=-2; (4)ln10=2.303
解:(1) (2) =128;
(3) =0.01; (4) =10
探究二:计算
例2计算: ⑴ ,⑵ ,⑶ ,⑷
解析:将对数式写成指数式,再求解.
解:⑴设 则 , ∴
⑵设 则 , , ∴
⑶令 = ,
∴ , ∴
⑷令 , ∴ , , ∴
点评:考察了指数与对数的相互转化.
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