第一章综合检测题
时间120分钟，满分150分。
一、(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱台 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
2．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( )
A.12倍 B．2倍
C.24倍 D.22倍
3．(2012•湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
4．已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )
A．长方体 B．圆柱
C．四棱锥 D．四棱台
5．正方体的体积是64，则其表面积是( )
A．64 B．16
C．96 D．无法确定
6．圆锥的高扩大到原的2倍，底面半径缩短到原的12，则圆锥的体积( )
A．缩小到原的一半 B．扩大到原的2倍
C．不变 D．缩小到原的16
7．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )
A．1倍 B．2倍
C.95倍 D.74倍
8．(2011～2012•浙江龙岩一模)有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位：c)，则该几何体的表面积为( )
A．12πc2 B．15πc2
C．24πc2 D．36πc2
9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6
C．5 D．3
10．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )
A.32，1 B.23，1
C.32，32 D.23，32
11．(2011－2012•广东惠州一模)某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该几何体的体积为( )
A．24 B．80
C．64 D．240
12．如果用 表示1个立方体，用 表示两个立方体叠加，用 表示3个立方体叠加，那么图中由7个立方体摆成的几何体，从正前方观察，可画出平面图形是( )
二、题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________．
14．(2011－2012•北京东城区高三第一学期期末检测)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________________ __________________________________________________．
15．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为________．
16．(2011－2012•安徽皖南八校联考)一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中主视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)画出如图所示几何体的三视图．
18．(本题满分12分)圆柱的高是8c，表面积是130πc2，求它的底面圆半径和体积．
19．(本题满分12分)如下图所示是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图(尺寸不限)．
20．(本题满分12分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2，高为7，制造这个塔顶需要多少铁板？
21．(本题满分12分)如下图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．
22．(本题满分12分)如图所示(单位：c)，四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．
详解答案
1[答案] C
[解析] 图①不是由棱锥截的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥．
2[答案] C
[解析] 设△ABC的边AB上的高为CD，以D为原点，DA为x轴建系，由斜二测画法规则作出直观图△A′B′C′，则A′B′＝AB，C′D′＝12CD.
S△A′B′C′＝12A′B′•C′D′sin45°
＝24(12AB•CD)＝24S△ABC.
3[答案] D
[解析] 本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A，B，C都可能是该几何体的俯视图，D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．
[点评] 本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．是近年高考中的热点题型．
4[答案] A
[解析] 该几何体是长方体，如图所示．
5[答案] C
[解析] 由于正方体的体积是64，则其棱长为4，所以其表面积为6×42＝96.
6[答案] A
[解析] V＝13π12r2×2h＝16πr2h，故选A.
[答案] C
7[解析] 设最小球的半径为r，则另两个球的半径分别为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2，所以36πr24πr2＋16πr2＝95.
8[答案] C
[解析] 由三视图可知该几何体是圆锥，S表＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝π×3×5＋π×32＝24π(c2)，故选C.
9[答案] A
[解析] 设圆台较小底面圆的半径为r，由题意，另一底面圆的半径R＝3r.
∴S侧＝π(r＋R)l＝π(r＋3r)×3＝84π，解得r＝7.
10[答案] C
[解析] 设球的半径为R，
则圆柱的底面半径为R，高为2R，
∴V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝43πR3.
∴V圆柱V球＝2πR343πR3＝32，
S圆柱＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，S球＝4πR2.
∴S圆柱S球＝6πR24πR2＝32.
11[答案] B
[解析] 该几何体的四棱锥，高等于5，底面是长、宽分别为8、6的矩形，则底面积S＝6×8＝48，则该几何体的体积V＝13Sh＝13×48×5＝80.
12[答案] B
[解析] 画出该几何体的正视图为 ，其上层有两个立方体，下层中间有三个立方体，两侧各一个立方体，故B项满足条件．
13[答案] 1423π
[解析] 圆台高h＝32－2－12＝22，
∴体积V＝π3(r2＋R2＋Rr)h＝1423π.
14[答案] 36
[解析] 该几何体是底面是直角梯形的直四棱柱，如图所示，底面是梯形ABCD，高h＝6，
则其体积V＝Sh＝122＋4×2×6＝36.
[答案] 24π2＋8π或24π2＋18π
15[解析] 圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.
(1)以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝4π，即r＝2.
所以S底＝4π，所以S表＝24π2＋8π.
(2)以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝6，即r＝3.所以S底＝9π，所以S表＝24π2＋18π.
16[答案] 2(1＋3)π＋42
[解析] 此几何体是半个圆锥，直观图如下图所示，先求出圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝π×2×23＝43π，S底＝π×22＝4π，
S△SAB＝12×4×22＝42，
所以S表＝43π2＋4π2＋42
＝2(1＋3)π＋42.
17[解析] 该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其
三视图如图所示．
18[解析] 设圆柱的底面圆半径为rc，
∴S圆柱表＝2π•r•8＋2πr2＝130π.
∴r＝5(c)，即圆柱的底面圆半径为5c.
则圆柱的体积V＝πr2h＝π×52×8＝200π(c3)．
19[解析] 由三视图可知该几何体是一个正三棱台．
画法：(1)如图①所示，作出两个同心的正三角形，并在一个水
平放置的平面内画出它们的直观图；
(2)建立z′轴，把里面的正三角形向上平移高的大小；
(3)连接两正三角形相应顶点，并擦去辅助线，被遮的线段用虚线表示，如图②所示，即得到要画的正三棱台．
20[解析]如图所示，连接AC和BD交于O，连接SO.作SP⊥AB，连接OP.
在Rt△SOP中，SO＝7()，OP＝12BC＝1()，
所以SP＝22()，
则△SAB的面积是12×2×22＝22(2)．
所以四棱锥的侧面积是4×22＝82(2)，
即制造这个塔顶需要822铁板．
21[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h′.
圆锥的高h＝42－22＝23，
又∵h′＝3，
∴h′＝12h.∴r2＝23－323，∴r＝1.
∴S表面积＝2S底＋S侧＝2πr2＋2πrh′
＝2π＋2π×3＝2(1＋3)π.
22[解析] 由题意，知所成几何体的表面积等于圆台下底面积＋圆台的侧面积＋半球面面积．
又S半球面＝12×4π×22＝8π(c2)，
S圆台侧＝π(2＋5)5－22＋42＝35π(c2)，
S圆台下底＝π×52＝25π(c2)，
即该几何全的表面积为
8π＋35π＋25π＝68π(c2)．
又V圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(c3)，
V半球＝12×4π3×23＝16π3(c3)．
所以该几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－16π3＝140π3(c3)．
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