1.12log612-log62等于( )
A.22 B.122
C.12D.3
[答案] C
[解析] 12log612-log62=12log612-12log62
=12log6122=12log66=12,故选C.
2.以下函数中,在区间(-∞,0)上为单调增函数的是( )
A.y=-log12(-x)B.y=2+x1-x
C.y=x2-1D.y=-(x+1)2
[答案] B
[解析] y=-log12(-x)=log2(-x)在(-∞,0)上为减函数,否定A;y=x2-1在(-∞,0)上也为减函数,否定C;y=-(x+1)2在(-∞,0)上不单调,否定D,故选B.
3.(09?陕西文)设不等式x2-x≤0的解集为M,函数f(x)=ln(1-x)的定义域为N,则M∩N为( )
A.[0,1)B.(0,1)
C.[0,1]D.(-1,0]
[答案] A
[解析] 由题意知M={x0≤x≤1},N={x-1
( )
A.关于直线x+y=0对称
B.关于直线x-y=0对称
C.关于y轴对称
D.关于原点对称
[答案] B
[解析] ∵lga+lgb=0,∴ab=1,
f(x)=ax,g(x)=-logbx=-log1ax=logax
∴f(x)与g(x)互为反函数,其图象关于直线x-y=0对称.
5.(2010?安徽理,2)若集合A=xlog12x≥12,则?RA=( )
A.(-∞,0]∪22,+∞
B.22,+∞
C.(-∞,0]∪22+∞
D.22,+∞
[答案] A
[解析] log12x≥12,∴0
6.(2010年延边州质检)函数y=xaxx(a>1)的图象的大致形状是( )
[答案] C
[解析] ∵y=xaxx=ax (x>0)-1ax (x<0),
∵a>1,∴当x>0时,y=ax单增,排除B、D;当x<0时,y=-1ax单减,排除A,故选C.
7.若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则( )
A.aC.b[答案] C
[解析] ∵x∈(e-1,1),y=lnx是增函数,
∴-1
8.设A={x∈Z2≤22-x<8},B={x∈Rlog2x>1},则A∩(?RB)中元素个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] C
[解析] 由2≤22-x<8得,-1
由log2x>1,得x>2或0
∴A∩(?RB)={0,1}.
9.(09?全国Ⅰ)已知函数f(x)的反函数为g(x)=1+2lgx(x>0),则f(1)+g(1)=( )
A.0 B.1
C.2 D.4
[答案] C
[解析] ∵g(1)=1,f(x)与g(x)互为反函数,
∴f(1)=1,∴f(1)+g(1)=2.
10.对任意两实数a、b,定义运算“*”如下:a*b=a,若a≤b;b,若a>b,
则函数f(x)=log12(3x-2)*log2x的值域为( )
A.(-∞,0)B.(0,+∞)
C.(-∞,0]D.[0,+∞)
[答案] C
[解析] ∵a*b=a,若a≤b,b,若a>b.而函数f(x)=log12(3x-2)*log2x的大致图象如右图所示的实线部分,
∴f(x)的值域为(-∞,0].
二、题
11.若正整数m满足10m-1<2512<10m,则m=______.(其中lg2=0.3010)
[答案] 155
[解析] 将已知不等式两边取常用对数,则m-1<512lg2
12.若a=log3π、b=log76、c=log20.8,则a、b、c按从小到大顺序用“<”连接起来为________.
[答案] c[解析] a=log3π>log33=1,b=log76
[答案] [3,+∞)
[解析] 要使函数有意义,须x-2-1≥0x-1>0x-1≠1,
∴x≥3或x≤1x>1x≠2,∴x≥3.
14.已知loga12<1,那么a的取值范围是__________.
[答案] 01
[解析] 当a>1时,loga12<0成立,
当0a>0.
三、解答题
15.设A={x∈R2≤x≤π},定义在集合A上的函数y=logax(a>0,a≠1)的最大值比最小值大1,求a的值.
[解析] a>1时,y=logax是增函数,logaπ-loga2=1,即logaπ2=1,得a=π2.
0综上可知a的值为π2或2π.
16.已知f(x)=loga1+x1-x(a>0且a≠1),
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断y=f(x)的奇偶性;
(3)求使f(x)>0的x的取值范围.
[解析] (1)依题意有1+x1-x>0,即(1+x)(1-x)>0,所以-1
(2)f(x)为奇函数.因为函数的定义域为(-1,1),
又f(-x)=loga1-x1+x=loga(1+x1-x)-1
=-loga1+x1-x=-f(x),
因此y=f(x)为奇函数.
(3)由f(x)>0得,loga1+x1-x>0(a>0,a≠1),①
当0解得-1
解此不等式得0
[解析] ∵方程有等根∴Δ=4-4[lg(c2-b2)-2lga+1]=4-4lg10(c2-b2)a2=0,
∴lg10(c2-b2)a2=1,∴10(c2-b2)a2=10
∴c2-b2=a2即a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形.
18.(1)计算:
lg23-lg9+lg10(lg27+lg8-lg1000)(lg0.3)(lg1.2)
(2)设a、b满足条件a>b>1,3logab+3logba=10,求式子logab-logba的值.
[分析] (1)因9=32,27=33,8=23,12=22?3,故需将式中的项设法化为与lg2,lg3相关的项求解;
(2)题设条件与待求式均为x+y=c1,x-y=c2的形式,注意到x?y=logab?logba=1,可从x?y入手构造方程求解.
[解析] (1)lg0.3=lg310=lg3-lg10=lg3-1,
lg1.2=lg1210=lg12-1=lg(22?3)-1=2lg2+lg3-1.
lg23-lg9+lg10=lg23-2lg3+1=1-lg3,
lg27+lg8-lg1000=32(lg3+2lg2-1),
原式=32?(1-lg3)?(lg3+2lg2-1)(lg3-1)(lg3+2lg2-1)=-32.
(2)解法1:∵logba?logab=lgalgb?lgblga=1,
∴logba=1logab.
由logab+logba=103,得:logab+1logab=103.
令t=logab,∴t+1t=103,化简得3t2-10t+3=0,由a>b>1,知0
解法2:logab?logba=lgblga?lgalgb=1,
∵3logab+3logba=10,∴9(logab+logba)2=100,
∴log2ab+log2ba=1009-2=829
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