2014—2013学年度上学期期末考试
高一数学试题
（满分：150分，时间：120分钟）
说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.
第1卷 共100分
一、：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1. 下列条件中，能使 的条件是（***** ）
A. 平面 内有无数条直线平行于平面 B. 平面 与平面 同平行于一条直线
C. 平面 内有两条直线平行于平面 D. 平面 内有两条相交直线平行于平面
2、直线 的倾斜角与在 轴上的截距分别是（***** ）
A. 135°，1 B. 45°，－1 C. 45°，1 D. 135°，－1
3、三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（***** ）
Ａ．１条 Ｂ．２条 Ｃ．３条 Ｄ．１或２条
4、已知直线 ， 互相平行，则 的值是（***** ）
A． B 1 C． 或 D．
5、设 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题正确的是（***** ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6、已知点 在直线 上，则 的最小值为（***** ）
A．2 B． 3 C． D．5
7、一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA/B/C/的面积为 ，
则原梯形的面积为（***** ）
A． 2 B． C．2 D． 4
8、若 为圆 的弦 的中点，则直线 的方程为（****）
A． B．
C． D．
9、长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（***** ）
A． B．56πC．14π D．64π
10、已知圆 ： + =1，圆 与圆 关于直线 对称，
则圆 的方程为（***** ）
A． + =1 B． + =1
C． + =1 D． + =1
11、点 是圆 内不为圆心的一点，则直线 与该圆的位置关系是（***** ）
A．相切 B．相交 C．相离D．相切或相交
12、如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点E，F，
且 ，则下列结论中错误的是（***** ）
A． ， 为异面直线，且
B．
C．三棱锥 的体积为定值
D．
二、题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）
13、过点 的直线的倾斜角等于 ，则 的值是_******_
14、直线 当 变化时，所有直线都通过定点_******_
15、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_******_
16、两平行线 间的距离是_******_
17、集合 ，其中 ，
若 中有且仅有一个元素，则 的值是_******_
18、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③二面角 的度数为 ；
④AB与CD所成的角是60°。
其中正确结论的序号是_******_
三、解答题：（本大题共6题，满分60分）
19．（本小题满分8分）
如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由．
20．（本小题满分10分）
如图，在平行四边形 中，点O是原点，点 和点 的坐标分别是 、 ，点 是线段 上的动点。
（1）求 所在直线的一般式方程；
（2）当 在线段 上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程．
21．（本小题?分12分）
如图，长方体 中， ，
，点 为 的中点．
（1）求证：直线 ∥平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求 与平面 所成的角大小．
22、（本小题满分10分）
如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成。已知隧道总宽度AD为 m，行车道总宽度BC为 m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m。
（1）建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；
（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m。请计算车辆通过隧道的限制高度是多少。
23、（本小题?分10分）
如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，
且CA = CB = CD = BD = 2，AB = AD = 。
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求 异面直线AB与CD所成角的余弦值。
24、(本小题满分10分)
已知圆 的圆心为C,直线L： 。
(1)若 ,求直线L被圆C所截得的弦长 的最大值；
(2)若 ,求直线L被圆C所截得的弦长 的最大值；
(3)若直线L是圆心C下方的切线，当 变化时，求实数 的取值范围。
25、附加题.（10分）设 点是圆 上的动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ,切线 分别交 轴于 两点．是否存在点 ，使得线段 被圆 在点 处的切线平分？若存在，求出点 的纵坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
第1卷 共100分
一、：DDCAC; BDACA; CD
二、题：
13、 ; 14、（3，1） ;15、1; 16、 17、3或7 18、①②④
三、解答题：
19．（本小题满分8分）
解： 由图可知 ；
；
因为 ，
所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．
20．（本小题满分10分）
21．（本题?分12分）
（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，
由P，O分别是 ，BD的中点，故PO// ，
∵ 平面 , 平面
所以直线 ∥平面
（2）长方体 中， ，
底面ABCD是正方形，则AC BD
又 面ABCD，则 AC，
∵ 平面 , 平面 ，
∴AC 面
∵ 平面 ∴平面 平面
（3）由（2）已证：AC 面
∴ 在平面 内的射影为OP
∴ 是 与平面 所成的角,依题意得 , ,
在Rt△CPO中， ,∴ = ∴ 与平面 所成的角为
22. （本小题满分10分）
23、（本小题?分10分）（1）证明： ?ABD中
∵AB = AD = ，O是BD中点，BD = 2
∴ AO ⊥ BD 且 = 1
?BCD中，连结OC ∵ BC = DC = 2
∴ CO ⊥ BD 且
?AOC中 AO = 1，CO = ，AC = 2
∴ AO 2 + CO 2 = AC 2 故 AO ⊥ CO
∴ AO ⊥平面BCD
（2）取AC中点F，连结OF、OE、EF
?ABC中 E、F分别为BC、AC中点
∴ EF∥AB，且
?BCD中 O、E分别为BD、BC中点
∴ OE∥CD 且
∴ 异面直线AB与C D所成角等于∠OEF（或其补角）
又OF是Rt?AOC斜边上的中线 ∴
∴ 等腰?OEF中
24、(本小题满分10分)解：圆C的方程可化为(x-a)2+(y-3a)2=4a
∴圆心为C（a,3a）,半径为r=2
（1）若a=2，则c(2,6),r= ,
∵弦AB过圆心时最长，∴ max=4
（2）若m=2，则圆心C（a,3a）到直线x-y+2=0的距离
d= ,r=2
直线与圆相交，
又 =2 ，
∴当a=2时， max=2 ，
（3）圆心C（a,3a）到直线x-y+m=0的距离d=
∵直线L是圆心C的切线，∴d=r , ,
∴m=2a±
∵直线L是圆心C下方, ∴m=2a-2 =( -1)2-1
∵ ，∴当a= 时,mmin=-1; 当a=4时，,mmax=8-4 ，
故实数m的取值范围是[-1,8-4 ]
附加题.（10分）设 点是圆 上的动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ,切线 分别交 轴于 两点．是否存在点 ，使得线段 被圆 在点 处的切线平分？若存在，求出点 的纵坐标；若不存在，说明理由．
解：设存在点 满足条件
设过点 且与圆 相切的直线方程为：
则由题意得， ，化简得：
设直线 的斜率分别为 ，则
圆 在点 处的切线方程为
令 ，得切线与 轴的交点坐标为
又得 的坐标分别为
由题意知，
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