2014-2013年第一 学期期末考试高一数学试题
一、选择题（每小题4分，共40分）
1、设集合 , ，则
A． B． C． D．
2、下列函数中，与函数 有相同定义域的是
A． B． C． D．
3、已知函数 ，则
A. B. C. 2 D.
4、已知点 ， ， ，则 的 形状为
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
5、式子 的值等于
A. B. － C. － D. －
6、下列函数中,既是奇函数又是增函数的是
A． B． C． D．
7、在下列区间中，函数 的零点所在区间是
A. B. C. D.
8、如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9 ，则正视图中实数 的值等于
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
9、在下列关于直线 、 与平面 、 的命题中，正确的是
A. 若 ，且 ，则 B. 若 ，且 ，则
C. 若 ，且 ，则 D. 若 ，且 ，则
10、定义两种运算 ， ，则函数 是
A. 非奇非偶函数且在 上是减函数 B. 非奇非偶函数且在 上是增函数
C. 偶函数且在 上是增函数 D. 奇函数且在 上是减函数
二、填空题（每小题4分，共16分）
11、圆 的半径等于
12、如图，在棱长为 的正方体 中， 分别是 的中点，则
异面直线 与 所成角等于
13、设集合 , ，则 = .
14、两条互相垂直的直线 与 的交点坐标为
三、解答题（本大题共5小题，共44分.）
15（本小题满分8分）
已知函数 是定义在 上的奇函数，且 时， .
（1）求 的值；（2）当 时，求 的解析式.
16（本小题满分8分）
已知点 和 ，求（1）线段 的垂直平分线 的方程；（2）以 为直径的圆的方程.
17（本小题满分8分）
如图，四棱锥 的底面是边长为1的正方形， 、 分别为 、 的中点。
（1）求证： ；
（2）求证: 平面 ；
（3）求四棱锥 的体积.
18（本小题满分10分）
已知圆O： 与直线 ：
（1）当 时，求直线 被圆O截得的弦长；
（2）当直线 与圆O相切时，求 的值.
19（本小题满分10分）
设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2，画面的宽与高的比为 ，画面的上、下各留8 cm空白，左、右各留5 cm空白。
（1）用 表示宣传画所用纸张面积 ；
（2）判断函数 在 上的单调性，并证明你的结论；
（3）当 取何值时，宣传画所用纸张面积 最小?
参考答案
一、选择题
题号12345678910
答案ADCBADDCBA
提示：
3、 从而选C
4、 ， 故 又 从而选B
5、原式＝ ＝ 从而选A,也可从符号判断只有A符合题意 .
6、 画出简图易得。
7、 , 从而选D (或画出简图易得)
8、该几何体是一个圆柱上面叠加一个圆锥，其表面积为：
根据题设得 从而选C
10、 ，显然 是非奇非偶函数且在 上是减函数。选A
二、填空题
11、 12、 13、 14、
提示：
11、 化为标准式： 易得
13、由
当 时
14、两直线互相垂直，则 得
联立方程组 解出 故交点坐标为
三、解答题
15解：（1） 是定义在 上的奇函数
-----------3分
（2）设 ，则 -----------5分
又
，即
当 时 -----------8分
16解：设线段 的中点为 ，则 ------------1分
（1） 和 ------------3分
∵直线 垂直于直线AB ∴
利用直线的点斜式得 的方程：
即 ------------5分
（2） 和
------------6分
以 为直径的圆的半径 ，圆心为 ------------7分
以 为直径的圆的方程为： -------- ----8分
17证明：（1） 、 分别为 、 的中点
又 ------------2分
且 ，
------------3分
（2） 四棱锥 的底面是边长为1的正方形，
， ------------5分
又 ，
平面 -----------6分
（3）由（2）知 平面 ，所以四棱锥 的高 ，
又 底面是边长为1的正方形，
---------8分
18解法一
（1） 当 时，直线 的方程为： ----------1分
设直线 与圆O的两个交点分别为 、
过圆心 作 于点 , 则 ------------3分
------------5分
(2) 当直线 与圆O相切时，即圆心到直线的距离等于圆的半径. ------------6分
------------8分
即 解出 ------------10分
解法二
（1）当 时，联立方程组 消去 得 ------------2分
解出 或 代入 得 或
和 ------------4分
-----------5分
（2）联立方程组 消去 得 -----------7分
当直线 与圆O相切时，即上面关于 的方程只有一个实数根. -----------8分
19解：（1）设画面高为x cm，宽为 cm，则 ＝4840. 则纸张面积：-------１分
＝（ ＋16）（ ＋10）＝ ＋（16 ＋10） ＋160，---------２分
将x＝ 代入上式，得 ＝5000＋44 （8 ）. ----------４分
（2）设
则
　　　　　-----------６分
当 时，
即
函 数 在 上是减函数.
同理可证 在 上是增函数. -----------8分
（3）由（2）知当 时 是减函数
当 时 是增函数
当 时
答： 时，使所用纸张面积最小为 -----------10分


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