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3.6《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》

1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　)
A．y＝100x　　　　　　　　B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当 x越来越大时，函数y＝100x的增长速度最快．w
答案：D
2．设x∈(0,1)时，y＝xp(p∈Z)的图像在直线y＝x的上方，则p的取值范围是(　　)
A．p≥0 B．0<p<1
C．p<1且p≠0 D．p>1
解析：当p <0时，f(x)＝xp＝(1x )－p，在(0,1)上单调递减，
∴y>f(1)＝1在直线y＝x上面，故只有C正确．
答案：C
3．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别为f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3 (x)＝log2x，f4(x)＝2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　)
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
解析：在同一坐标系中画图像可知，当x取较大值时指数函数y＝2x在上方，即2x值最大．
答案：D
4.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30 2；
③浮萍从 4 2蔓延到12 2需要经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2 2,3 2,6 2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中正确的是(　　)
A．①② B．①②③④
C．②③④⑤ D．①②⑤
解析 ：由于图像经过点(1, 2)，所以2＝a1，即a＝2.
①正确．∴y＝2t .
当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确．
令y＝4，得t＝2.即第2个月浮萍蔓延的面积为4 2.
再过1.5个月，即t＝3.5时，y＝23.5＝272＝82 2，故③错误．
前几个月浮萍的面积分别为2 2,4 2,8 2,16 2，显然浮萍每个月增加的面积不相等，故④错误．
若浮萍蔓延到2 2,3 2,6 2所经过的时间分别为t1，t2，t3，即2t1＝2,2t2＝3,2t3＝6，
则t1＝log22＝1，t2＝log23，t3＝log26，
又log26＝log2(2×3)＝log22＋log23，
∴t3＝t1＋t2，故⑤成立．
综上，①②⑤正确．
答案：D
5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2000年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2010年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．
解析：1年后，y＝15(1＋x)；2年后，y＝15(1＋x)2；3年后，y＝15(1＋x)3，…，10年后，y＝15(1＋x)10.x
答案：y＝15(1＋x)10
6．已知元素“碳14”每经过5 730年，其质量就变成原来的一半．现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为 原来的41%，此文物距现在约有________年．(注：精确到百位数，lg2＝0.301 0，lg4.1＝0.613)
解析：设距现在为x年，则有(12)x5 730＝41%，两边取对数，利用计算器可得x≈7 400.
答案：7 400
7．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元， 且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2 ∈R)．
(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；
(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．
解：(1)依题意：由f1＝6，f2＝14，有a1＋b1＝0，4a1＋2b1＝8.
解得a1＝4，b1 ＝－4，
∴f(x)＝4x2－4x＋6.
由g1＝6，g2＝8，有3a2＋b2＝6，9a2＋b2＝8.
解得a2＝13，b2＝5，
∴g(x)＝13×3x＋5＝3x－1＋5，
所以甲在今年5月份的利润为f(5)＝86万元，乙在今年5月份的利润为g(5)＝86万元， 故有f(5)＝g(5)，即 甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等；
(2)作函数图像如下：

从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：
当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；
当1<x<5时，有f(x)>g(x)；
当5<x≤12 时，有f(x)<g(x)．
8．现有某种细胞100个，其中占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg3＝0.477，lg2＝0.301)
解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数：
1小时后 ，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100；
2小时后，细胞总数为
12×32×100＋12×32×100×2＝94×100；
3小时后，细胞总数为
12×94×100＋12×94×100×2＝278×100；
4小时后，细胞总数为
12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100.
可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为
y＝100×32x，x∈N＋.
由100×32x>1010，得32x>108，两边同时取以10为底的对数．得xlg32>8，
∴x>8lg3－lg2.
∵8lg3－lg2＝80.477－0.301≈45.45，
∴x>45.45.
故经过46小时，细胞总数超过1010个．

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