一、选择题

1.在空间直角坐标系中，已知点P给出下列4条叙述：

①点P关于轴的对称点的坐标是；

②点P关于平面的对称点的坐标是；

③点P关于轴的对称点的坐标是；

④点P关于原点的对称点的坐标是.

其中正确的个数是(     ).

A.3         B.2         C.1         D.0

考查目的：考查空间直角坐标系中对称点的坐标特征.

答案：C.

解析：根据空间直角坐标系中，关于线和面对称的点的坐标的特征可以判断，点P关于轴的对称点的坐标是，关于平面的对称点的坐标是，关于轴的对称点的坐标是，关于原点的对称点的坐标是.答案应选C.

 

2.已知空间直角坐标系中点P(1，2，3)，现在轴上取一点Q，使得最小，则Q点的坐标为(     ).

A.(0，0，1)       B.(0，0，2)        C.(0，0，3)       D.(0，1，0)

考查目的：考查空间两点间的距离公式的应用.

答案：C.

解析：设点Q的坐标为(0，0，)，则，当时，.

 

3.以正方体的棱AB、AD、所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则棱中点的坐标为(     ).

A.(，1，1)      B.(1，，1)      C.(1，1，)     D.(，，1)

考查目的：考查空间直角坐标系中的中点坐标公式.

答案：C.

解析：分别以正方体的棱AB、AD、所在的直线为轴建立空间直角坐标系，依题意得，点的坐标为(1，1，0)，点的坐标(1，1，1)，所以中点的坐标为(1，1，).

 

二、填空题

4.(2009安徽)在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，-3，1)，点M在轴上，且点M到点A与到点B的距离相等，则M的坐标是          .

考查目的：考查空间直角坐标系中两点间的距离公式的应用.

答案：(0，-1，0).

解析：设点M的坐标为(0，，0)，则，解得，∴点M的坐标为(0，-1，0).

 

5.设为任意实数，则点P(1，2，)的集合对应的图形为           .

考查目的：考查对空间点的坐标和点集所对应的图形的认识.

答案：过点(1，2，0)且平行于轴的一条直线.

解析：因为点P(1，2，)在空间直角坐标系中，横坐标、纵坐标不变，只有竖坐标是任意实数，所以点P(1，2，)表示的点集是经过点(1，2，0)且平行于轴(或与平面垂直)的一条直线.

 

6.若P在坐标平面内，点A的坐标为(0，0，4)，且，则点P的轨迹是__________.

考查目的：考查空间直角坐标系中动点的轨迹的求法.

答案：坐标平面内以(0，0，0)为圆心，以3为半径的圆.

解析：设点P的坐标为P(，，0)，依题意得，整理得，∴，这个方程表示，P点的轨迹是坐标平面内以点(0，0，0)为圆心，以3为半径的圆.

 

三、解答题

7.以棱长为的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上.若点P为对角线AB的中点，且点Q在棱CD上运动，求PQ的最小值.

考查目的：考查空间直角坐标系，空间两点间的距离公式与二次函数的最值.

答案：.

解析：由题意得A(，，0)，B(0，0，)，C(0，，0)，D(0，，).∵点P为对角线AB的中点，∴点P的坐标为(，，).设点Q的坐标为(0，，)，则

，∴当时，PQ取得最小值，此时Q为CD的中点.

 

 

8.在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)和B(1，0，－3)，试问：

⑴在轴上是否存在点，满足？

⑵在轴上是否存在点，使为等边三角形？若存在，试求出点坐标.

考查目的：考查空间两点间的距离公式的应用.

答案：⑴轴上任意一点都满足条件；⑵在轴上存在点，使得为等边三角形，点的坐标为(0，，0)，或(0，，0).

解析：⑴假设在轴上存在点，使得.∵在轴上，∴可设点M的坐标为(0，，0).由得，显然，此式对任意的恒成立，说明轴上所有的点都满足关系；

⑵假设在轴上存在点，使为等边三角形.由⑴知，轴上任意一点都有，∴只要就可以使得是等边三角形.∵，，∴，解得，∴在轴上存在点，使得为等边三角形，符合题意的点的坐标为(0，，0)，或(0，，0).

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