“种群数量的变化”是一个高频考点，试题多以图表为载体，着眼于信息转换能力和逻辑推理能力的考查。
一、构建数学模型的方法
数学模型是用来描一个系统或它的性质的数学形式。数学模型的形式很多，常见的有：数学表达式、曲线、表格等。数学模型的建构也是一个假说演绎推理的过程，它包括：观察对象提出问题→提出合理的假设→依据实验数据，用适当的数学形式对事物的性质进行表达→通过进一步实验或观察对模型进行修正。
例1 调查发现某种一年生植物(当年播种、当年开花结果)的种群中存在下列情形：①因某种原因导致该植物中大约只有80%的种子能够发育成成熟植株；②该植物平均每株可产生400粒种子；③该植物为自花传粉植物。目前种子数量为a，则m年后该植物的种子数量N可以表示为（ ）
A．400a?0．8m B．0．8a?400m
C．a?320m D．320am
答案：C
解析：据题意可知：该种群一年后种子的数量为a×80%×400，则两年后种子的数量为a×80%×400×80%×400＝a×(80%×400)2，三年后种子的数量a×80%×400×80%×400×80%×400＝a×(80%×400)3，以此类推，m年后种子的数量为a×(80%×400)m＝a×320m。二、种群数量变化的规律
1 无限环境中种群数量变化模型—“J”型增长曲线
在食物（养料）和空间条件充裕、气候适宜、没有天敌等理想条件下种群的数量每年以一定的倍数增长，第二年的数量是第一年的λ倍。其数学表达式为：Nt=N0λt（Nt为第t年后种群的数量，N0为种群的起始数量；λ为每年都保持的增长率；t为年数）。上述计算只适用于世代不相重叠种群的离散增长，这样的种群要求是：一生只繁殖一次，世代不相重叠,即子代产生时，亲代已死亡。种群表现为“J”型数量增长的两种情形:a．实验室条件下；b．当一个种群刚迁入一个新的适宜环境中时。
2 有限环境中种群数量变化模型—“S”型增长曲线
当种群在一个有限的环境中增长时，随着种群密度的上升，个体间对有限的空间、食物和其他生活条件的种内竞争必将加剧，同时以该种群生物为食的捕食者数量也会增加。从而使该种群数量的增长率下降，最终种群数量达到环境条件允许的最大值（如图）。a段基本呈指数增长；b段增长速度较慢；c段基本保持在环境容量（环境负荷）的水平。
例2关于右图中种群数量变化说法错误的是（ ）
A．种群J型曲线只有在理想条件下才能出现
B．种群呈S型增长过程中，在达到K值之前就是J型增长
C．自然状态下种群数量达到600时，种群的增长速率为0
D．环境条件变化时，种群的K值也会发生相应变化
答案：B
解析：种群呈S型增长过程中，在种群数量比较少时（即低于K/2时），表现为J型增长。
例3 用牛奶瓶培养黑腹果蝇，观察成虫数量的变化，结果如下表：
时间（天）
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
成虫数（只）
6
10
28
71
131
207
270
302
327
341
根据表中数据分析，下列结果正确的是
A．第13-25天，成虫数量增长快的主要原因是个体生长加快。
B．第17-29天，成虫增长率上升，死亡率下降
C．第21-37天，成虫增长率的下降与种群密度的改变有关
D．第1-37天，成虫数量成“J”型增长
答案：C
解析：本题为一道表格题，先要提取表格中的关键信息，并进行一定数据转换。依表格可得：4-18-43-60-76-32-25-14（每4天成虫增加的个体数）。题目选项中的“增长率”应该就是指增长速率，即瞬时增长率。可见，种群增长率先增加后减少，种群表现出来的受密度因素制约的逻辑斯谛增长，即成虫数量呈S型增长。选项分析：A选项错误--个体生长加快与成虫数量增加并无直接的因果关系，更不可能是主要原因，B选项错误--17天至29天，这个时间段内增长率先增加后减小，而死亡率应该是升高的，因为成虫密度增大。C选项正确--21天至37天，这个时期，种内斗争加剧，成虫变得更加拥挤，成虫密度成为制约成虫数量增长的主要因素。D选项错误，整个实验研究时期，成虫数量表现为S型增长。
误区警示：在“S”型增长曲线中，种群增长速率即过S型曲线某点所作切线的斜率，很明显它是先增大后减小；另外，可列出以种群数量为自变量的种群增长速率方程式：种群增长速率=rN(1-N/k)，其中r为常数，N是种群数量，K是环境容纳量，它是一个一元二次方程，曲线的开口向下，中轴线为N=k/2，分析曲线走向同样可得出种群增长速率先增大后减小的结论，即当0＜N≤K/2时，增长速率随N增大而增大；当K/2≤N≤K时，增长速率随N增大而减小。而“S”型增长曲线的种群增长率等于出生率与死亡率之差，在有限的环境中，随着种群数量的增加，导致环境阻力增加，出生率会逐渐减小，而死亡率逐渐增加，可见种群增长率一直减小。
三、种群增长曲线在生产生活中的应用
1 K值的应用
（1）野生生物资源保护：保护野生生物生活的环境，减小环境阻力，增大K值。
（2）有害生物的防治：增大环境阻力（如为防鼠害而封储粮食、清除生活垃圾、保护鼠的天敌等），降低K值。
2 K/2值的应用
（1)资源开发与利用：种子群数量达环境容纳量的一半时，种群增长速率最大，再生能力最强。维持被开发资源的种群数量在K/2值处，可实现“既有较大收获量又可保持种群高速增长”，从而不影响种群再生，符合可持续发展的原则。
(2)有害生物防治：务必及时控制种群数量，严防达K/2值处（若达K/2值处，可导致该有害生物成灾，如蝗虫的防控即是如此）。
例4 资源的合理使用是使产量最大化，又不影响资源的持久利用。自然种群增长呈“S”型曲线。假设种群的最大值K＝200，N表示种群数量水平，根据下表，下列说法正确的是（ ）
曲线上的点
种群大小
（K－N）/K
种群的增长量
S1
20
0．90
18
S2
50
0．75
38
S3
100
0．50
50
S4
150
0．25
38
S5
180
0．10
18
A．环境阻力对种群增长的影响出现在S4点之后
B．防治蝗虫应在蝗虫数量达到S3点时进行
C．渔业捕捞后需控制剩余量在S3点
D．若此表示酵母菌生长状况，则有害代谢产物在S1时期大量积累
答案：C
解析：由题表知，种群数量越来越多，种群增长量最大时为50，此时对应种群数量为K/2，曲线上的点是S3。故环境阻力对种群增长的影响出现在S3点之后，防治蝗虫应在S3点之前进行，有害代谢产物在S5时期大量积累。
作者简介：周伟，生物奥赛主教练。主要从事生物教学与奥赛培训研究，近年来在《生物学教学》、《中学生物教学》、《吉首大学学报》、《新高考》、《考试报》、《素质教育报》、《中学生理化报》、《中学生学习报》、《当代中学生报》等报刊上发表文章60多篇。
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