一、教学目标

 

1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。

 

2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。

 

3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

 

二、教学重点、难点

 

1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

 

2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

 

三、课前准备

 

1.教师准备：教学课件

 

2.学生自备：

 

三角形纸片、铁丝（代表直线）、纸板（代表平面）、三角板

 

四、教学过程设计

 

1.直线与平面垂直定义的建构 

 

（1）创设情境

 

 

①请同学们观察图片，说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系？

 

②请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？

 

③请将①中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。

 

（2）观察归纳

 

①思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？

 

②多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。

 

③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。

 

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α.

 

 

 

 

 

　　直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。

用符号语言表示为：

 

（3）辨析（完成下列练习）：

 

①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。

 

②若a⊥α,bα，则a⊥b。

 

在创设情境中，学生练习本上画图，教师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母等加以强调，并指出这就叫直线与平面垂直，引出课题。

 

在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆AB所在直线与过点B的直线都垂直。再展示动画2使学生明确旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直，进而引导学生归纳出直线与平面垂直的定义。

 

 

 

 

 

 

在辨析问题中，解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化，给出常用命题：

 

 

 

2.直线与平面垂直的判定定理的探究

 

（1）设置问题情境

 

提出问题：学校广场上树了一根新旗杆，现要检验它是否与地面垂直，你有什么好办法？

 

（2）折纸试验

 

如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察并思考：

 

 

 

 

①折痕AD与桌面垂直吗？

 

②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

 

③多媒体演示翻折过程。

 

（3）归纳直线与平面垂直的判定定理

 

①思考：由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？

 

②归纳出直线与平面垂直的判定定理。

 

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

 

 

 

 

 

用符号语言表示为：

 

在讨论实际问题时，学生同桌合作进行试验（将铁丝当旗杆，桌面当地面）后交流方案，如用直角三角板量一次，量两次等。教师不作点评，说明完成下面的折纸试验后就有结论。

 

在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经过讨论交流，使学生发现只要保证折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就与桌面垂直，再利用多媒体演示翻折过程，增强几何直观性。

 

在归纳直线与平面垂直的判定定理时，先让学生叙述结论，不完善的地方教师引导、补充完整，并结合“两条相交直线确定一个平面”的事实，简要说明直线与平面垂直的判定定理。然后，学生试用图形语言表述，练习本上画图，可能出现垂足与两相交直线交点重合的情况（如图），教师加以说明，同时给出符号语言表述。

 

 

 

 

 

在理解直线与平面垂直的判定定理时，强调“两条”、“相交”缺一不可，并结合前面“检验旗杆与地面垂直”问题再进行确认。指出要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，这充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。

 

3.直线与平面垂直的判定定理的初步应用

 

（1）尝试练习：

 

求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。

 

 

 

 

 

    学生根据题意画图，将其转化为几何命题：不妨设

 

请三位同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条件，同时指出：这为证明“线线垂直”提供了一种方法。

 

（2）尝试练习：如图，有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D。如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直.为什么？

 

 

 

 

 

 

本题需要通过计算得到线线垂直。学生练习本上完成后，对照课本P69例1,完善自己的解题步骤。

 

（3）尝试练习：如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。

 

此题有一定难度，教师引导学生分析思路，可利用线面垂直的定义证，也可用判定定理证，提示辅助线的添法，学生练习本上完成，对照课本P69例2,完善自己的解题步骤。

 

 

 

 

 

4.总结反思

 

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

 

（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？

 

（3）本节课你还有哪些问题？

 

学生发言，互相补充，教师点评，归纳出判断直线与平面垂直的方法，给出框图（投影展示），同时，说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路，并鼓励学生反思，大胆质疑，教师作好记录，以便查缺补漏。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.布置作业

 

（1）如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD.

 

 

 

 

 

 

求证：PO⊥平面ABCD

 

（2）课本P70 练习2

 

（3）探究：如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？

 

 

 

 

 

 

 

【板书设计】

 

　　　　

 

　　教学设计说明

 

在这次新课程数学教学内容中，立体几何不论从教材编排还是教学要求上都发生了很大变化，因而，我在本节课的处理上也作了相应调整，借助多媒体辅助教学，采用“引导—探究式”教学方法。整个教学过程遵循“直观感知—操作确认—归纳总结”的认知规律，注重发展学生的合情推理能力，降低几何证明的难度，同时，加强空间观念的培养，注重知识产生的过程性，具体体现在以下几个方面：

 

1.线面垂直的定义没有直接给出，而是让学生在对图形、实例的观察感知基础上，借助动画演示帮助学生概括得出，并通过辨析问题深化对定义的理解。这样就避免了学生死记硬背概念，有利于理解数学概念的本质。

 

2.线面垂直的判定定理不易发现，在教学中，通过创设问题情境引起学生思考，安排折纸试验，讨论交流，给学生充分活动的时间与空间，帮助学生从自己的实践中获取知识。教师尽量少讲，学生能做的事就让他们自己去做，使学生更好的参与教学活动，展开思维，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

 

3.本节中教师不作例题示范，而是让学生先尝试完成，后讲评明晰。为更好地巩固判定定理，设置了有梯度的练习，其中练习（1）是补充题，是判定定理的最简单的运用。作业中增加了基础题（第1题）和开放性题目（第3题），这样，有助于培养学生的发散思维，使学生在不同的几何体中体会线面垂直关系，发展学生的几何直观能力与一定的推理论证能力。同时，在教学中，始终注重训练学生准确地进行三种语言（文字语言、图形语言和符号语言）的转换，培养运用图形语言进行交流的能力。

 

4.以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题多质疑、多概括。

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