三、解答题

11.(2012上海理改编)如图，在四棱锥中，底面是矩形，是四棱锥的高，是的中点，已知，，，求：

⑴四棱锥的体积；

⑵异面直线与所成的角的大小.

考查目的：考查异面直线所成角的概念及其求法.

答案：⑴，⑵.

解析：⑴根据题意四棱锥的体积.⑵取PB的中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，∴∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.连结AC.在直角△AEF中，，∴.在△AEF中，，，AE=2，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF=，∴异面直线BC与AE所成的角大小为.

 

 

12.(2011湖南文)如图，在圆锥PO中，已知，⊙O的直径AB=2，点C在上，且，D为AC的中点.

⑴证明：AC平面POD；

⑵求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.

考查目的：考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成角的计算，以及空间想象能力.

答案：⑴略，⑵.

解析：⑴∵OA=OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD.又∵PO⊥底面⊙O，底面⊙O，∴AC⊥OD.PO是平面POD内的两条相交直线，∴AC⊥平面POD.

⑵由⑴知，AC⊥平面POD.又∵，∴平面POD⊥平面PAC.在平面POD中，过O作OH⊥PD于点H，则OH⊥平面PAC.连结CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，∴∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角.在中，；在中，.

 

 

13.(2010陕西文)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点.

    ⑴证明：EF∥平面PAD；

    ⑵求三棱锥E—ABC的体积V.

考查目的：考查直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积计算.

答案：⑴略；⑵.

解析：⑴在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又∵BC∥AD，∴EF∥AD，∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.

⑵连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则BG⊥平面ABCD，且.在△PAB中，AD=AB，，BP=2，∴，.∴，∴.

 

14.(2010四川理)已知正方体的棱长为1，点M是棱的中点，点O是对角线的中点.

⑴求证：OM为异面直线和的公垂线；

⑵求二面角的正切值.

考查目的：考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，空间想象能力和逻辑推理能力.

答案：⑴略；⑵.

解析：⑴连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK.∵M是棱的中点，点O是的中点，∴，∴.

由⊥AK，得MO⊥.∵AK⊥BD，AK⊥，∴AK⊥平面，∴AK⊥，∴MO⊥.又∵OM与异面直线和都相交，

∴OM为异面直线和的公垂线.

⑵取中点N，连结MN，则MN⊥平面.过点N作NH⊥于H，连结MH，则由三垂线定理得⊥MH，从而，∠MHN为二面角的平面角.MN=1，.在Rt△MNH中，，

∴二面角的正切值大小为.

 

15.(2012湖南理)如图，在四棱锥中，⊥平面，，，，，是的中点.

⑴证明：CD⊥平面PAE；

⑵若直线与平面成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积.

考查目的：考查直线与平面垂直的判定，直线和平面所成角的运用，体积计算以及综合运用立体几何知识解决问题的能力.

答案：⑴略；⑵.

解析：⑴连接，由，，，得.又∵，Ｅ是的中点，∴.∵，∴.而是平面内的两条相交直线，∴⊥平面.

⑵过点作，分别与相交于，连接.由⑴⊥平面知，⊥平面，∴为直线与平面所成的角，且.由知，为直线与平面所成的角.，，.由题意知，.∵，∴.由知，AD∥BC. 又∵BG∥CD，∴四边形是平行四边形，∴，∴.在中，，∴，于是.又∵梯形的面积为，∴四棱锥的体积为.

 

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