一、教学内容：平面向量、平面向量的坐标运算
二、本周教学目标：
要求：
1、了解平面向量的基本定理 理解平面向量的坐标的概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；
2、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
3、学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题．
三、本周要点：
1、平面向量的坐标表示：一般地，对于向量 ，当其起点移至原点O时，其终点的坐标（x,y）称为向量
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 ．
（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量．
（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
2、平面向量的坐标运算：
（1）若 ，则
（2）若
（3）若 =（ x, y）
（4）若 ，则
（5）若 ，则
若 ，则
运算类型
几何
坐标方法
运算性质
向
量
的
加
法
1、平行四边形法则
2、三角形法则
向
量
的
减
法
三角形法则
向
量
的
乘
法
是一个向量,
满足:
>0时, 与 <0时, 与 =0时, =
向
量
的
数
量
积
或 =0
时,
,
【典型例题
例1、平面内给定三个向量 ，回答下列问题
（1）求满足 的实数m,n；
（2）若 ，求实数k；
（3）若 满足 ，且 ，求
解：（1）由题意得所以 ，得
（2）
（3）
由题意得
得 或
例2、已知 ；（2）当 与解：（1）因为所以
则
（2） ，
因为 平行
所以
此时 ，
则 ，即此时向量
例3、已知点 及<6" style= > ,试问:
（1）当 为何值时, 在<9" style='' > 轴上? 在 轴上? 在第三象限?
（2）四边形 若不能,说明理由．
解：（1） ，则若 在 轴上，则 ，所以 ；
若 在 轴上，则 ；
若 在第三象限，则 ，所以
（2）因为若所以 此方程组无解；
故四边形
例4、如图，设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F 经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O．
解法一：设A（x1,y1）,B（x2,y2）,F（ ,0），则C（则∵ 与 共线
∴
即 （*）
而代入（*）式整理得，y1?y2=－p2
因为
∴ 与 是共线向量，即A、O、C三点共线，
也就是说直线AC经过原点O
解法二：设A（x1,y1），C（ ,y2），B（x2,y2）
欲证A、O、C共线，只需且仅需 ，即
又∴ 只需且仅需y1y2=－p2，用韦达定理易证明．
点评：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁杂的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了．
例5、已知向量 表示．
（1）证明：对于任意向量 成立；
（2）设 ，求向量 的坐标；
（3）求使 的坐标．
解：（1）设 ，则
，故
∴（2）由已知得 =（0，－1）
（3）设 ，
∴y=p，x=2p－q，即
例6、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1），B（－1,3），若点C满足 且
解法一：设
由
于是
先消去 ，由
再消去 所以选取D．
解法二：由平面向量共线定理，
当 时，A、B、C共线．
因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得小结：
1、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算．
2、两个向量平行的坐标表示．
3、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合．
【模拟
1、若向量 与向量A、x=1,y=3 B、x=3,y=1 C、x=1,y= －5 D、x=5,y= －1
2、点B的坐标为（1,2）， 的坐标为（m,n），则点A的坐标为（ ）
A、 B、
C、 D、
3、已知向量 与 共线，则 等于（ ）
A、 D、1
4、已知 反向，则 等于（ ）
A、（－4,10） B、（4,－10） C、（－1 , ） D、（1, ）
5、向量 =（－4,1） 则 = （ ）
A、（－2,0） B、（6,－2） C、（－6,2） D、（－2,2）
6、设向量 ，则“ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、不充分不必要条件
7、平行四边形ABCD的三个顶点为A（－2,1）、B（－1,3）、C（3,4），则点D的坐标是（ ）
A、（2,1） B、（2,2） C、（1,2） D、（2,3）
8、与向量 不平行的向量是
A、 B、 C、 =（2,5）， 坐标为 ， 坐标为 ， =（x1,y1）， =（x2,y2），线段AB的中点为C,则 的坐标为 ．
12、已知A（－1,－2），B（4,8），C（5,x），如果A，B，C三点共线，则x的值为 ．
13、已知向量
【试题答案
1、B 2、A 3、C 4、B 5、C 6、C 7、B 8、C
9、 ； ；
12、
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