一、概率的基本知识点

1、基本内容：了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合公式计算一些等可能性事件的概率。了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在 次独立重复试验中恰好发生 次的概率。掌握数学期望的概念、求值及应用。

2、基本公式：

（1）等可能性事件的概率公式： ；

（2）互斥事件的概率公式： ，

①推广： ，

②对立事件的概率公式： ；

（3）独立事件的概率公式： ，

①推广： ，

②独立重复试验的概率公式： 。

二、考纲要求

1、考试大纲、考试说明、实际考题主要围绕下面两点展开对概率知识的考查：

（1）4个“了解”，即了解随机事件的概率；等可能事件的概率；互斥事件；相互独立事件；

（2）4个“会”，即会用排列组合基本公式计算等可能事件的概率；会用互斥事件的概率加法公式计算事件的概率；会用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率；会计算事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率；

2、近几年来新课程卷高考试卷概率知识主要考查的基本知识和方法：随机事件、等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复实验等概念及相应的计算等。

三、典型例题分析

（1）古典概率的考查

主要围绕等可能性事件的概率公式加以考查，解答时一定要注意结合排列、组合和两个基本计数原理来明确分清基本事件数 及其总数 。

例1、（2014年高考重庆卷）某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为________。

分析：6位乘客等可能进入4节轨列车厢，有46种方法。

4节车厢选一节不进入，有 种选法；6人中分3组，各组分别为3人、2人、1人的分法有 种分法；而3组进入3节车厢有 种方法；

按乘法原理，共有 种方法，

所以得求的概率为 ，即填 。

（2）复杂事件的概率问题的考查

复杂事件的概率问题的解答要充分利用事件的内在联系，将之转化为可以利用互斥事件或相互独立事件的概率的计算，再结合概率知识来解决实际问题。

例2、（2014年高考江苏卷）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 。假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。

（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；

（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

（3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件 为“4次均击中目标”，则 ；

（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B，则

；

（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于乙恰好射击5次后被中止射击，故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标，

所以 。

四、应试策略与命题预测

1、概率是高中数学的重要内容之一，这部分内容是进一步学习高等数学的基础知识之一，是高考数学命题的重要内容。从近几年全国高考数学（新材）试题来看，主要是考查概率的基本概念、公式及基本技能、方法，以及分析问题和解决问题的能力。试题特点是基础和全面。题目类型有选择题、填空题、解答题，一般是一小题（选择题、填空题）和一大题（解答题），分值大约在10～15分左右。试题难度多为低中档。从高中数学课程的改革观念看，高考数学命题对这部分将进一步重视，但题目数量、难度、题型将会保持稳定。

2、处理概率问题过程中的基本思想是：先分清事件的构成及概率的转化，并注意运用集合的观点，利用事件的内在联系，促成复杂事件的概率问题向简单事件的概率问题转化。处理过程中往往要用到分类讨论、数形结合、化归转化等数学思想与方法。

五、创新演练

例1、托举神舟六号飞船进入太空的，是中国人自己研制的长征二号Ｆ型火箭。运载火箭的可靠性和安全性分别达到97％和99.7％。在长征二号Ｆ型火箭中某个系统由6个相同的元件组成，各元件能否正常工作是相互独立的，各元件正常工作的概率为p=0.95，那么下面两组系统中，哪一组系统的可靠性更大？

解：设C={系统故障}，在图（1）所示情况，当 与 同时故障时系统故障，

记 ， ，则 独立，

则 ， ，

由于串接在 上的三个元件中任何一个故障，都将导致 故障，

所以 ，

因为三个元件中只要有一个故障， 即发生故障，因此可以认为等式右边的三个随机事件互斥，所以 ，

而各元件正常工作的概率为p=0.95，则发生故障的概率为0.2014，

所以 ，同理， ，

所以 ，即图（1）所示情况的系统的可靠性为97.75%；

在图（2）所示情况，当 ， ， 之一故障时系统故障，

记 ， ， ，则 ，

因为 ， ， 只要有一个故障，系统即发生故障，因此可以认为 互斥，所以 ，

在 中两个元件是并联的，所以 ，

所以 ，

同理， ，

所以 ，即图（2）所示情况的系统的可靠性为99,学习规律.25%；

比较两个结果，两者的可靠性均超过97％，但图（2）所示情况的系统的可靠性更大。

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